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Session 1 — Nombres complexes, trigonométrie et exponentielle complexe Méthode : théorie → formule → exemple à la main → animation Python
| Animation | Ce qu'elle montre |
|---|---|
| ▶ Plan complexe | Le plan |
Comprendre les nombres complexes et la formule d'Euler
- La fonction Z de Hardy utilise
$e^{i\theta(t)}$ - Les zéros de ζ(s) vivent dans le plan complexe
- Toute l'analyse complexe repose sur cette notation
Un nombre complexe z est un couple (a, b) qu'on écrit :
Où :
-
a= partie réelle → Re(z) -
b= partie imaginaire → Im(z) -
i= unité imaginaire, définie par$i^2 = -1$
Intuition géométrique : z est un point dans le plan (axe réel horizontal, axe imaginaire vertical).
Im
|
| z = a + ib
| /
| / ← module |z|
| /
| /
| θ/
|/__________ Re
a
| Opération | Formule |
|---|---|
| Addition | |
| Multiplication | |
| Conjugué | |
| Module |
|
| Argument |
Soit
from mpmath import mp, mpc, fabs, arg, pi
mp.dps = 15
z = mpc(3, 4) # z = 3 + 4i
print(f"z = {z}")
print(f"|z| = {fabs(z)}") # 5.0
print(f"arg(z) = {arg(z)} rad") # 0.9272...
print(f"Re(z) = {z.real}") # 3.0
print(f"Im(z) = {z.imag}") # 4.0
print(f"z̄ = {z.conjugate()}") # 3 - 4iTout nombre complexe peut s'écrire en forme polaire :
Où :
-
$|z|$ = module (distance à l'origine) -
$\theta$ = argument (angle avec l'axe réel)
Intuition : au lieu de (x, y), on repère z par sa distance et son angle.
Dans la fonction zêta,
-
$\sigma$ = partie réelle (sur la droite critique :$\sigma = 1/2$ ) -
$t$ = partie imaginaire (paramètre des zéros :$t \approx 14{,}13,\ 21{,}02\ldots$ )
C'est la formule la plus belle des mathématiques (Euler, 1748).
Intuition géométrique :
| Point | ||
|---|---|---|
|
|
Relie les 5 constantes fondamentales :
Dans notre projet, la fonction Z de Hardy est :
Le terme
Calculons
#!/usr/bin/env python3
"""
Module niveau-0 : visualisation de e^(iθ) sur le cercle unité
Connexion avec Z(t) de Hardy
"""
from mpmath import mp, exp, pi, cos, sin, mpc, re, im
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
mp.dps = 15
# --- Calcul de e^(iθ) pour quelques angles ---
angles = [0, pi/6, pi/4, pi/3, pi/2, pi, 3*pi/2, 2*pi]
print("θ (rad) | cos θ | sin θ | e^(iθ)")
print("-" * 55)
for theta in angles:
z = exp(1j * float(theta))
print(f"{float(theta):.4f} | {z.real:+.4f} | {z.imag:+.4f} | {z.real:+.4f} + {z.imag:+.4f}i")
# --- Animation : cercle unité ---
theta_vals = np.linspace(0, 2 * np.pi, 500)
x = np.cos(theta_vals)
y = np.sin(theta_vals)
fig, ax = plt.subplots(1, 1, figsize=(7, 7))
ax.plot(x, y, 'b-', linewidth=2, label='Cercle unité |z|=1')
ax.axhline(0, color='k', linewidth=0.5)
ax.axvline(0, color='k', linewidth=0.5)
# Points remarquables
points = [(1, 0, 'θ=0'), (0, 1, 'θ=π/2'), (-1, 0, 'θ=π'), (0, -1, 'θ=3π/2')]
for px, py, label in points:
ax.plot(px, py, 'ro', markersize=8)
ax.annotate(f' {label}\n e^(iθ)={px}+{py}i', (px, py), fontsize=9)
ax.set_xlim(-1.5, 1.5)
ax.set_ylim(-1.5, 1.5)
ax.set_aspect('equal')
ax.set_xlabel('Re(z)')
ax.set_ylabel('Im(z)')
ax.set_title("$e^{i\\theta} = \\cos\\theta + i\\sin\\theta$\nLe cercle unité — brique de base de Z(t)")
ax.legend()
ax.grid(True, alpha=0.3)
plt.tight_layout()
plt.savefig("niveau0_cercle_unite.png", dpi=150)
plt.show()
print("\nGraphique sauvegardé : niveau0_cercle_unite.png")Calculez le module et l'argument de :
$z_1 = 1 + i$ $z_2 = -2 + 2i$ -
$z_3 = e^{i\pi/4}$ (sans calculatrice)
Modifiez le script ci-dessus pour tracer
from mpmath import siegeltheta, exp, pi
import numpy as np
t_vals = np.linspace(1, 30, 300)
theta_vals = [float(siegeltheta(t)) for t in t_vals]
z_vals = [complex(exp(1j * th)) for th in theta_vals]
# → tracez Re(z) et Im(z) en fonction de tVérifiez que
graph TD
A["Nombre complexe z = a + ib"] --> B["Forme algébrique"]
A --> C["Forme polaire z = r·e^(iθ)"]
C --> D["Formule d'Euler : e i θ = cosθ + i sinθ"]
D --> E["Cercle unité — |e^(iθ)| = 1"]
D --> F["Z(t) = e^(iθ(t)) · ζ(½+it)"]
F --> G["Zéros de ζ sur la droite critique"]
B --> H["Module = √(a²+b²)"]
B --> I["Argument = arctan(b/a)"]
| Concept | Formule | Rôle dans ζ |
|---|---|---|
| Nombre complexe |
|
|
| Module |
|
|
| Formule d'Euler | Facteur de |
|
| Cercle unité | Garantit que |
Prochaine session : Suites, limites et séries — vers la convergence de