analyse_problemes_v5_v6

Analyse des problèmes v5 → v6

Fichier : analyse_problemes_v5_v6.md Dossier : wiki racine Branche : master (wiki) Auteur : hprzeta · MAJ : 2026-06-11

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Résumé exécutif

	v5 (Voie B)	v6 (scan_arb + STEP=0.010)
Détection	Z_vect_correct numpy batch	scan_arb.c Z_double C pur
STEP	adaptatif δ/3 (~0.22 à T=100k)	0.010 fixe (gap-safe GUE)
Segmentation	1/√t approx	N(T) par bissection
Zéros T=100k	135 997	138 069
Manquants	2 072 ❌	0 ✅
Turing	❌	COMPLET ✅

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1. Problème — STEP adaptatif δ/3 insuffisant

Cause mathématique

v5 utilisait STEP = δ(t)/3 = 2π/(3·ln(t/2π)). À $t=100 000$ :

$$\delta(100 000) = \frac{2\pi}{\ln(100 000/2\pi)} \approx 0.66 \quad \Rightarrow \quad \text{STEP}_{v5} \approx 0.22$$

La loi de Wigner (GUE) prédit la distribution des gaps normalisés $s = \delta_n/\delta(t)$ :

$$p_{\text{GUE}}(s) = \frac{\pi}{2} s e^{-\pi s^2/4}$$

Le gap minimal mesuré sur les 10 000 premiers zéros est $\delta_{\min} \approx 0.019$ (à $t \approx 66 678$). Le STEP v5 ($\approx 0.22$) est donc ×11 trop grand — il manquait tous les pairs de zéros séparés par moins de 0.22.

Quantification de la perte

$$\text{manquants} = N_{\text{total}} \cdot P\left(\delta_n < \text{STEP}\right) \approx 138 069 \times F_{\text{GUE}}\left(\frac{0.22}{0.66}\right) \approx 2 072$$

Résultat mesuré : 2 072 manquants ❌ — pire que v1 (356 avec paliers 0.1/0.05/0.02).

Solution v6

STEP fixe 0.010 = gap_min/2 ≈ 0.019/2 :

$$\text{STEP} = 0.010 \leq \frac{\delta_{\min}}{2} \approx 0.0095$$

Résultat : 0 manquant sur 138 069 zéros. Contre-intuitivement, STEP=0.010 est plus rapide que δ/3 car il évite les faux positifs à retraiter (moins d'intervalles sans zéro).

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2. Problème — scan Python (numpy) trop lent

Cause

v5 utilisait Z_vect_correct (détection numpy vectorisée) avec un callback Python pour chaque point. Le STEP=0.010 implique $100 000/0.010 = 10^7$ évaluations $Z(t)$ pour un scan complet — soit ~17 min de scan pur si chaque évaluation coûte 0.1 ms.

De plus, le passage Python→C (ctypes) pour chaque appel Illinois représente un overhead de ~30 µs, non négligeable à 8+ itérations par zéro.

Solution v6 — scan_arb.c

scan_arb.c réécrit le scan entier en C avec arb_fpwrap_cdouble_hardy_z (libflint) :

• Aucune allocation heap (double IEEE 754 pur, registres CPU)
• Loop C pure : $0.77 \text{ms}/\text{appel}$ vs $1.2 \text{ms}$ Python loop overhead inclus
• Passage du tableau de brackets directement en mémoire partagée

/* scan_arb.c — boucle principale */
int scan_zeros_arb(double t_min, double t_max, double step,
                   double *out_a, double *out_b,
                   double *out_fa, double *out_fb, int n_max) {
    complex double z_prev, z_cur;
    arb_fpwrap_cdouble_hardy_z(&z_prev, t_min, 0);
    int n = 0;
    for (double t = t_min + step; t <= t_max && n < n_max; t += step) {
        arb_fpwrap_cdouble_hardy_z(&z_cur, t, 0);
        if (creal(z_prev) * creal(z_cur) < 0) {
            out_a[n]=t-step; out_b[n]=t;
            out_fa[n]=creal(z_prev); out_fb[n]=creal(z_cur);
            n++;
        }
        z_prev = z_cur;
    }
    return n;
}

Gain mesuré : ×5.7 sur la phase détection (0.2 % du temps CPU total en v6 vs ~6 % en v5).

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3. Problème — Segmentation approximée

Cause

v5 segmentait les intervals de t par portions de longueur $\propto 1/\sqrt{t}$ (pour équilibrer la charge). L'approximation sous-estimait systématiquement le nombre de zéros dans les segments à grand t, causant un déséquilibre de ~15 % entre workers.

Solution v6 — N(T) par bissection

Utilisation de la formule exacte de Riemann-von Mangoldt pour calculer les bornes de segments :

$$N(T) = \frac{T}{2\pi}\ln\frac{T}{2\pi e} + 1 + S(T)$$

Bissection sur $N(T)$ pour trouver $T_k$ tel que $N(T_k) = k \cdot N(T_{\max})/W$. Déséquilibre résiduel : <3 % (vs 15 % en v5).

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4. Résultats mesurés — T=100 000

Métrique	v5	v6
Zéros trouvés	135 997	138 069
Manquants	2 072	0
Turing-Backlund	❌	COMPLET ✅
Durée réelle	~1h58 (estimé)	1h53
LMFDB 19/20 < 1e-10	❌	✅
Illinois_C pur > 50 %	~85 %	83 % ✅

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5. Bottleneck résiduel — illinois_C = 83 %

L'affinage Illinois à 170 bits (libmpfr, PREC=170) représente 83 % du temps total.

$$N_{\text{termes}}(t) = \left\lfloor\sqrt{\frac{t}{2\pi}}\right\rfloor \quad \Rightarrow \quad N(100 000) = 126 \text{ termes}$$

Chaque terme requiert $\approx 1.1 \text{ms}$ (mpfr_cos + mpfr_log à 170 bits). Illinois = 2–5 évaluations Z par zéro :

$$T_{\text{illinois}} \approx 138 069 \times 3.5 \times 126 \times 1.1 \text{ms} / 4 \approx 1.67 \text{h}$$

Prochain levier (v7) : N_termes adaptatif dans illinois_mpfr.c — schéma 2-phases ou réduction PREC 170→100 bits.

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6. Questions ouvertes

1. LMFDB #20 (t≈77.14) : erreur résiduelle 8e-10 ≠ 1e-10 — limitation structurelle RS à 2 termes ?
2. PREC=100 bits : suffisant pour tolérance 1e-10 sur t ∈ [300, 100 000] ?
3. STEP=0.010 à T>100k : gap_min décroît-il assez vite pour nécessiter STEP<0.010 ?

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Voir aussi

• analyse_problemes_v4_1_v6_synthese — vue globale v4.1→v6
• Formules_zeta §19 (STEP/GUE) · §20 (coût scan) · §21 (N_termes RS)
• Bibliotheques §12 — tous les runs T=100k

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