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hprzeta edited this page Sep 12, 2026 · 43 revisions

🔬 Riemann_Lab — Wiki

Exploration de l'Hypothèse de Riemann et de la fonction ζ(s) Calcul numérique · Visualisation · Intelligence Artificielle · Preuves formelles — hprzeta, 2025–2026

📚 Navigation principale

Page Statut Description
🗺️ Parcours complet — cours niveaux 0→5 ✅ Tableau récapitulatif des 6 sessions, formules clés, scripts
🧮 Documentation générale du projet ζ(s) ✅ Vue d'ensemble du projet, état d'avancement
🧭 Guide Git & GitHub ✅ Workflow complet, branches, commits, wiki
🖥️ Guide Vscode WorkSpaces ✅ Techniques complet
📐 Symboles mathématiques ✅ Référence rapide — notations d'analyse complexe
🔬 Interprétation des premiers tests T40 ✅ Résultats T40 — 6 zéros validés vs LMFDB
Étape 1 — Calcul des zéros ✅ v4.1 — 10 141 zéros validés en 9 min (T=10 000), Phase C Option B
Partie 1 — La Théorie de l'Étape 1 ✅ ζ(s), Z(t), θ(t), équation fonctionnelle, fonction Γ
Étape 2 — Visualisations avancées ⚪ Graphiques 2D/3D (à venir)
Étape 3 — Intelligence artificielle ⚪ Réseaux de neurones, FrobeniusLearner (à venir)
Étape 4 — Preuves formelles Lean ⚪ Formalisation Lean 4 (à venir)
🏗️ Architecture hardware & mur de latence ✅ i7 schéma ASCII · mur de latence · tableau v1→v12 · planchers absolus
🗂️ Structure projet complète ✅ Arbre des dossiers · rôles fichiers clés · liens wiki · branches

📖 Cours — Parcours structuré (niveaux 0 → 5)

Niveau Page Thèmes
📋 Méthode d'apprentissage Hiérarchie des prérequis · approche théorie → animation → code
🔢 0 Prérequis — Nombres complexes $z = a+ib$ · $e^{i\theta}$ · cercle unité · module · argument
📈 1 Suites, séries et exponentielle complexe Convergence · Taylor · $\zeta(s) = \sum 1/n^s$ · série harmonique
🌀 2 Analyse complexe Holomorphie · Cauchy · prolongement analytique de $\zeta$
🎯 3 Fonction Γ, Dirichlet et équation fonctionnelle $\Gamma(s)$ · Mellin · produit eulérien · équation fonctionnelle
ζ 4 Zéros, Hardy et Riemann-Siegel HR · $Z(t)$ · $\theta(t)$ · formule de Riemann-Siegel · détection numérique
🏆 5 Expert — TNP, GUE, fonctions L TNP · formule explicite · matrices aléatoires · fonctions $L$ · cryptographie

🎬 Animations interactives

Huit animations pédagogiques disponibles sur GitHub Pages :

Animation Description Niveau
θ(t) de Riemann-Siegel θ(t), Z(t), Backlund — 3 vues simultanées 4
Séries de Dirichlet Convergence $\sum 1/n^s$, frontière $\sigma=1$ 1
Produit eulérien $\prod(1-p^{-s})^{-1}$, premiers infinis 1-3
Plan complexe Heatmap $\lvert\zeta\rvert$, bande critique, zéros 2
Fonction Γ Pôles, réflexion Euler, lien $\xi$ 3
Distribution des zéros $N(T)$, GUE vs Poisson 4-5
Zéros non triviaux Plan ℂ + $Z(t)$ + HR 4
Mur de latence Goulot $O(\sqrt{t})$, performance v4.1 5

→ Voir Animations pour la description complète de chaque animation.

🎯 État d'avancement

✅ Infrastructure   Ubuntu · Python 3.12 · mpmath · zeta_env · Phase C (libmpfr)
✅ Théorie          ζ(s), Z(t), θ(t), Γ, équation fonctionnelle documentées
✅ Tests T40        6 zéros — précision ~10⁻¹⁵ — validés vs LMFDB
✅ Étape 1          v12 — ~138 080 zéros (T=100 000) · 8.8 min · 0 manquant ✅
                    Illinois hybride 2-phases (Z_rs_double + 2 Newton Z_arb) · ×16.9 vs v10
                    Turing COMPLET ✅ · LMFDB 20/20 ✅
✅ Animations       8 animations pédagogiques GitHub Pages (juin 2026, vérifiées Playwright)
✅ Logo SVG         Logo animé (ζ doré, ligne critique Re(s)=½, 6 zéros pulsants) — juin 2026
⚪ Étape 2          Visualisations avancées
⚪ Étape 3          IA — ZetaCoeffNet, FrobeniusLearner
⚪ Étape 4          Preuves formelles Lean 4

📄 Pages de référence

Page Lien wiki
🏗️ Architecture hardware & mur de latence Plancher-Hardware-Architecture
🗂️ Structure projet complète Structure-Projet-Complet

📐 Rappel des formules clés

Fonction zêta de Riemann

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p\ \text{premier}} \frac{1}{1-p^{-s}}, \quad \text{Re}(s) > 1$$

Hypothèse de Riemann

Tous les zéros non triviaux de ζ(s) vérifient $\text{Re}(s) = \dfrac{1}{2}$

Fonction Z de Hardy (détection des zéros)

$$Z(t) = e^{i\theta(t)} \cdot \zeta\left(\tfrac{1}{2}+it\right) \in \mathbb{R}$$

Un changement de signe de $Z(t)$ ↔ un zéro de $\zeta$ sur la droite critique.

Fonction θ(t) de Riemann-Siegel

$$\theta(t) = \text{Im}\left[\ln\Gamma\left(\tfrac{1}{4}+\tfrac{it}{2}\right)\right] - \frac{t}{2}\ln\pi$$

▶ Visualisation interactive : animation_theta.html

Formule de Riemann–von Mangoldt

$$N(T) \approx \frac{T}{2\pi}\ln\left(\frac{T}{2\pi e}\right)$$ Estimation du nombre de zéros jusqu'à la hauteur T.

🔬 Derniers résultats — Run T=100 000 v2 (10 juin 2026)

# Partie imaginaire $t$ Écart vs LMFDB
1 14.134725141735 7.46e-14 ✅
2 21.022039638772 0.00e+00 ✅
3 25.010857580145 2.13e-13 ✅
4 30.424876125860 0.00e+00 ✅
5 32.935061587739 0.00e+00 ✅
6 37.586178158826 2.13e-14 ✅
7 40.918719012148 8.53e-14 ✅
8 43.327073280915 7.11e-15 ✅
9 48.005150881167 0.00e+00 ✅
10 49.773832477672 7.11e-15 ✅
… T=10 000 10 141 zéros — 2.60 min — Turing COMPLET ✅
… T=100 000 v2 138 039 zéros — 105.1 min — 68 manquants ❌
… T=100 000 v12 ~138 080 zéros — 8.8 min — 0 manquant ✅ · ×16.9 vs v10 · Turing COMPLET ✅

v4.1 : Z(t) vectorisé numpy + Illinois C/libmpfr (PREC=170) + Arb/FLINT ×27 · 4 workers · STEP adaptatif. LMFDB : 19/20 à ≤ 10⁻¹⁰ · score standard Turing-Backlund.

🌿 Branches du dépôt

Branche Rôle
Riemann_Lab_IA ⭐ Développement principal — Local Python 3.12, Zeta_env
Riemann_Lab_C Développement C -Optimisation (Phase C — Illinois en C/libmpfr)
Riemann_Lab_Test Expérimentations occasionnelles, Inline Tests, CodeSpaces
main Branche stable de référence

🔗 Liens utiles

Dernière mise à jour : 13 juin 2026 — v12 terminée · 0 manquant · 8.8 min · Turing COMPLET ✅ · LMFDB 20/20 ✅

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