Topologia

Topologia: como Q muda com a superfície

Se o deficit Q = 3 vem dos cantos do tabuleiro (ver Invariante-Q), então mudar a topologia deve mudar Q. Muda, e é isso que dá conteúdo geométrico ao invariante.

A hierarquia

superfície	identificações	Q
plano n×n	nenhuma	3
cilindro	X modular, Y rígido	0
toro	ambas modulares	0
Klein	uma com inversão	1 se n+m par, 0 se ímpar

Interpretação: Q mede a obstrução introduzida pela borda. Numa superfície sem borda, ela desaparece.

Por que o toro tem deficit zero

A explicação não é a topologia: é a simetria.

O grafo do cavalo toroidal é um grafo de Cayley sobre Z_n × Z_n. Para grafos de Cayley, deficit nulo é corolário de um teorema de Alspach, Locke e Witte (1990).

O que elimina o deficit é a transitividade por vértices: toda aresta é equivalente a toda outra, então nenhuma pode ser forçada por um argumento local. No plano, a fronteira quebra a transitividade e cria exatamente os quatro vértices de grau 2 que geram Q = 3.

Plano versus toro é, em essência, com fronteira versus sem fronteira.

Isso reposiciona a hierarquia abaixo: ela não é uma lista de medições soltas, é uma consequência de quanto de transitividade cada superfície preserva.

Cilindro

beta_1 = 1. Grafo 6×6: V=36, E=108, sem vértices de grau 2. A ancoragem usa C_m em x = 0.

Q_cilindro = 0: a paridade do winding number se distribui 50/50 em 18k tours únicos. Custo ~5 nós por tour.

Toro

beta_1 = 2. Grau uniforme 8 em todo vértice: não há canto, não há borda.

Q_toro = 0 confirmado: as 4 classes (paridade_y, paridade_x) aparecem com ~25% cada em 20k tours no 6×6. O rank é cheio (rank = beta_1) em n ∈ {4, 6, 8, 10}.

Isso refutou uma conjectura levantada durante o projeto, de que rank = número de órbitas. Nota metodológica: uma medição anterior deu rank ≈ 21 por usar uma única semente; a medição correta exige muitas sementes.

Garrafa de Klein

O resultado mais interessante da seção. Varrendo 11 combinações de paridade (76k tours):

• a paridade off-diagonal (0,1) e (1,0) é sempre proibida;
• logo H_1 = Z, não Z²;
• n+m par implica Q = 1; n+m ímpar implica Q = 0.

Toro cisalhado

Toro com parâmetro de cisalhamento s. Serve como família interpolante e para testar se os resultados dependem da geometria específica ou só da topologia.

Família híbrida toro→plano

Interpolando entre toro e plano em 10 pontos, rank = beta_1 - Q vale em todos. Além disso, a geometria da identificação não importa, só o número k de cantos com grau 2. Configurações geometricamente distintas com o mesmo k dão o mesmo resultado.

Código: experiments/07_topologia/, core/knight_tours_{torus,cylinder,klein,sheared}.py