🧬 GEO-COMPACT-MATH (GCM)

La Géométrie comme Mathématique Compactée : Unification Cohomologique de la Frustration

"Un cristal n'est pas simplement un arrangement d'atomes ; c'est un algorithme fossilisé." — Bryan Ouellette

📜 Synopsis

GEO-COMPACT-MATH est un projet de recherche fondamentale postulant que la géométrie spatiale des systèmes frustrés (réseaux Kagomé, Pyrochlore) n'est pas un simple réceptacle d'interactions, mais une forme de mathématique compactée.

Ce framework démontre que l'incapacité d'un système frustré à atteindre un état fondamental trivial est une manifestation d'une obstruction cohomologique. En utilisant la théorie des faisceaux, nous transformons les contraintes physiques locales en sections de faisceaux, où la frustration est formellement définie par la non-nullité du premier groupe de cohomologie.

📐 Formalisme Mathématique

1. L'Hamiltonien de Frustration

L'énergie du système est régie par la compétition entre interactions d'échange et topologie :

$$H = J \sum_{\langle i,j \rangle} \mathbf{S}_i \cdot \mathbf{S}_j + \sum_{\langle i,j \rangle} \mathbf{D}_{ij} \cdot (\mathbf{S}_i \times \mathbf{S}_j)$$

Où $J > 0$ impose un caractère antiferromagnétique et $\mathbf{D}_{ij}$ représente le vecteur de Dzyaloshinskii-Moriya, induisant une non-commutativité algébrique.

2. Définition Cohomologique de la Frustration

Soit $\mathcal{F}$ un faisceau de contraintes locales sur un complexe simplicial $X$. La frustration pure existe si et seulement si :

$$\check{H}^1(X, \mathcal{F}) \neq 0$$

L'obstruction $\omega \in H^1$ mesure l'impossibilité de recoller les solutions locales (sections locales) en un état fondamental global unique.

3. Entropie Résiduelle (Approx. de Pauling)

Le stockage d'information structurelle est quantifié par l'entropie à $T=0$ :

$$S_0 = k_B \ln \left( \left( \frac{3}{2} \right)^N \right)$$

📊 Architecture du Framework (Mermaid)

graph TD
    A[Géométrie du Réseau] -->|Contraintes Locales| B(Faisceau de Sections locales)
    B --> C{Calcul de Cohomologie}
    C -->|H1 != 0| D[Frustration Géométrique]
    C -->|H1 = 0| E[État Fondamental Trivial]
    D --> F[Complexité NP-Hard]
    F --> G[Applications: Mémoire Quantique / Memcomputing]

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🚀 Prédictions & Métrologie

Modèle	Problème CSP Isomorphe	Classe de Complexité	Signature Entropique ()
Ising Ferromagnétique	Unification de Graphe	P
Verre de Spin 3D	MAX-CUT Pondéré	NP-Difficile
Pavage de Wang	Halting Problem	Indécidable	Variable (Apériodique)

🛠 Applications Roadmap

• Court Terme : Optimisation de codes LDPC quantiques basés sur des produits homologiques de graphes frustrés.
• Moyen Terme : Protocoles de cryptographie post-quantique par synchronisation de verres de spins dynamiques.
• Long Terme : Développement de processeurs de Memcomputing utilisant des Portes Logiques Auto-Organisatrices (SOLG) pour résoudre des problèmes SAT en temps polynomial analogique.

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