Geometrie

English: Geometry

Geometrie

Konventionen

Konvention	Wert
Längen	Millimeter (mm)
Winkel	Grad (°); Schränkung positiv = Nase hoch
Achsen	x in Profiltiefenrichtung, positiv zur Endleiste; y in Spannweitenrichtung, positiv zum rechten Flügelende; z nach oben
Berechnete Geometrie	rechter Halbflügel (y ≥ 0); der linke Halbflügel ist sein Spiegelbild an der Ebene y = 0
Kurven und Flächen	NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline, nicht-uniformer rationaler B-Spline) mit allen Gewichten 1, d. h. nicht-rationale B-Splines
Algorithmusnummern (A2.1 …) und Gleichungsnummern	Piegl und Tiller, The NURBS Book, 2. Auflage, Springer 1997
Meldungen	Die auf dieser Seite zitierten Meldungen sind die deutschen Texte der App; Ausnahme: der englische Text der Ausnahme in Abschnitt 1.2. Die englische Oberfläche schreibt sie auf Englisch (Geometry). Prüfungen, Grenzen und Ergebnisse sind in beiden Sprachen gleich.
Optionen von Auswahllisten	Im Text steht eine Option mit dem ersten Wort ihrer Beschriftung: Linear und Glatt (Smooth) für Optionen von Interpolation in Spannweitenrichtung (Spanwise interpolation), Flach (Flat) und Spitz (Pointed) für Optionen von Flügelende (Wing tip). Die Optionen von Schnittebenen (Section planes) stehen als Auf Gehrung (Mitred) und Senkrecht (Vertical). Die vollständigen Beschriftungen stehen in den Abschnitten 3.1, 3.5 und 3.8.

Symbole

Symbol	Bedeutung
LE, TE	Nasenleiste (leading edge), Endleiste (trailing edge); als Index: x_LE, x_TE
N	Anzahl der Tiefenintervalle je Profilseite (N + 1 Stationen je Profilseite, Nase und Endleiste eingeschlossen): Einstellungen (Settings) > Stationen je Profilseite (Chordwise stations per surface), Vorgabe 60, Bereich 16 bis 200
K	Stationen je Feld in Spannweitenrichtung: Einstellungen > Stationen je Feld mit Leitkurve, glatter Interpolation oder linearen Feldern auf Gehrung (Spanwise stations per panel with guides, smooth mode or mitred linear panels), Vorgabe 8, Bereich 3 bis 40; die Gittergrenze aus Abschnitt 3.2 kann K verringern
c	Profiltiefe in mm
f_pivot	Drehpunkt der Schränkung als Anteil der Profiltiefe: Einstellungen > Drehpunkt der Schränkung (Anteil der Profiltiefe) (Twist pivot (fraction of chord)), Vorgabe 0,25, Bereich 0 bis 1
δ	V-Form eines Feldes: atan2(z_(i+1) − z_i, y_(i+1) − y_i) seiner beiden Schnittpositionen, in Grad. Die Schnittebenen verwenden stattdessen den Feldwinkel, den ein Schnitt speichern kann (Abschnitt 3.8)
φ	Neigung einer Schnittebene um die x-Achse (Abschnitt 3.8); φ = 0 ist die Ebene y = konst.
m	Dickenstreckung eines platzierten Profils (Abschnitt 3.8); 1 in einer senkrechten Ebene
n	Index des letzten Punkts einer Punktliste (Punkte 0 … n)
p	Grad einer Kurve
u	Flächenparameter um das Profil: 0 obere Endleiste, u_LE Profilnase, 1 untere Endleiste
v	Flächenparameter entlang der Spannweite: 0 Wurzel, 1 Rand
Feld	Spannweitenabschnitt zwischen zwei benachbarten Schnitten
Station	eine platzierte Profilkontur an der Spannweitenposition y; jeder Schnitt ist eine Station

Ableitungen werden als dx/du und d²x/du² geschrieben. Indizes sind Punktnummern (Q_k, x_N) oder Bezeichner (x_LE, x_norm).

Ablauf

Schritt	Code	Algorithmen aus The NURBS Book
1. Profil als NURBS-Kurve	src/airfoil/geometry.js, src/geom/profile.js	A2.1, A2.2, A2.3, A3.1, A3.2, A9.1
2. Gemeinsame Tiefenstationen	src/geom/profile.js, src/geom/wing.js	A3.1
3. Stationen in Spannweitenrichtung	src/geom/wing.js, src/geom/spanwise.js, src/geom/guide.js	A9.1
4. Fläche	src/geom/wing.js, src/geom/nurbs.js	A9.1 je Zeile und Spalte (gleichwertig zu A9.4), A3.5
5. Dreiecksnetze	src/geom/mesh.js, src/geom/triangulate.js	A3.5
6. STEP-Topologie (STEP: Standard for the Exchange of Product model data)	src/export/step.js	A5.1
7. Grundrisskennwerte	src/geom/stats.js, src/geom/wing.js (planformAt)	–
8. Schaumkerne	src/geom/foam.js	A3.5 (je Spaltenkurve)

Die starre Lage des Teils (Abschnitt 3.9, src/geom/part.js) dreht das Ergebnis der Schritte 3 und 4 für die Schritte 5 bis 7.

1. Profil als NURBS-Kurve

Eingabe: Profilpunkte in Selig-Reihenfolge (obere Endleiste → Profilnase → untere Endleiste), die die Plausibilitätsprüfungen bestehen (Dateiformate). Ein Fehler der Plausibilitätsprüfungen, eine sich selbst überschneidende Kurve (Abschnitt 1.4) oder ein Rücklauf in x (Abschnitt 1.5) blockiert den Flügelaufbau, Warnungen nicht. Die Plausibilitätsprüfungen entfernen zuerst aufeinanderfolgende Punkte, die näher als 1e-9 des x-Bereichs beieinander liegen (Info duplicates): Ihre Parameter u_k (Abschnitt 1.2) können auf denselben Wert gerundet werden und machen das lineare Gleichungssystem singulär.

1.1 Normierung

• Profilnase der Datei P: der Dateipunkt mit dem größten Abstand zur Endleistenmitte (Mittel aus erstem und letztem Punkt). Quadrierte Abstände, die relativ höchstens 1e-15 unter dem größten liegen, gelten als gleich; dann gilt der Punkt mit kleinerem x, sodass jede Skalierung derselben Kontur denselben Punkt wählt.
• Nur Verschiebung und gleichmäßige Skalierung. Das Profil wird nicht gedreht.

c_file = x_max − x_min
x_norm = (x − x_min) / c_file
z_norm = (z − z_P)  / c_file

• Geneigte Profile: Die Linie von P zur Endleistenmitte behält ihren Winkel. Über 0,5° melden die Plausibilitätsprüfungen die Warnung rotated. Die Schränkung bezieht sich dann auf die x-Achse der Datei.

1.2 Interpolation

Eigenschaft	Wert
Verfahren	globale Kurveninterpolation durch jeden Punkt Q_0 … Q_n (A9.1)
Grad	3
Parameter	Einstellungen (Settings) > Parametrisierung der Profile (Profile parametrization): Vorgabe Zentripetal (empfohlen) (Centripetal (recommended)), dazu Sehnenlänge (Chord length) oder Gleichabständig (Uniform) (Gl. 9.3 bis 9.6)
Knotenvektor	geklemmt (clamped), durch Mittelwertbildung (averaging, Gl. 9.8)
Lineares Gleichungssystem	Band-LU-Zerlegung (lower-upper) ohne Pivotsuche; Zeile k enthält die p + 1 Basiswerte des Knotenintervalls von u_k, alle übrigen Einträge sind 0; Kollokationsmatrizen von B-Splines sind bei nicht fallenden Parametern total positiv, daher ist die Elimination ohne Zeilentausch stabil (de Boor und Pinkus 1977); fallende Parameter brechen die Interpolation mit einer Ausnahme ab; ihr englischer Text „Interpolation parameters must be nondecreasing.“ wird nicht übersetzt und steht in der Klammer der Meldung „Die NURBS-Interpolation … ist fehlgeschlagen (…).“
Parameterbereich	u = 0 an der oberen Endleiste, u = 1 an der unteren Endleiste

d_k = |Q_k − Q_(k−1)|^e          e = 1 (Sehnenlänge), e = 0.5 (Zentripetal)
u_0 = 0,  u_k = u_(k−1) + d_k / Σ d,  u_n = 1
Gleichabständig:  u_k = k / n
Knoten:   U_(j+p) = (u_j + … + u_(j+p−1)) / p,   j = 1 … n − p,   je p + 1 Endknoten bei 0 und bei 1

1.3 Profilnase der Kurve

Der Schnittursprung ist der Punkt der Kurve mit minimalem x: u_LE mit dx/du(u_LE) = 0.

Eigenschaft	Wert
Startwert	Parameter des Dateipunkts mit minimalem x
Iteration	Newton-Schritt u ← u − (dx/du) / (d²x/du²), Ableitungen nach A2.3 und A3.2
Intervall	Parameter der beiden benachbarten Dateipunkte; ein Schritt außerhalb wird zu einem Bisektionsschritt nach dem Vorzeichen von dx/du
Abbruch	|dx/du| < 1e-14, Schritt < 1e-14 oder 50 Iterationen
Rückfall	ist x(u_LE) größer als x des Dateipunkts mit minimalem x, gilt der Parameter dieses Dateipunkts

1.4 Prüfung auf Selbstüberschneidung

Eine kubische Kurve kann zwischen Dateipunkten, die jede Plausibilitätsprüfung bestehen, eine Schleife bilden, z. B. hinter der Endleiste einer grob aufgelösten Datei. Dieselbe Prüfung läuft für jede Profilkurve und für die Flächenzeilen (Abschnitt 4).

Eigenschaft	Profilkurve	Flächenzeile
Kurve	NURBS-Kurve aus Abschnitt 1.2, normierte Koordinaten	Zeile v = konst. der Fläche S, projiziert in die Ebene ihrer Station: x und die Aufwärtsrichtung (0, −sin φ, cos φ) ihrer Neigung φ (die x-z-Ebene bei φ = 0, Abschnitt 3.8)
Geprüfte Zeilen	–	beim y jedes Schnitts, in der Mitte zwischen 2 benachbarten Schnitten und in der Mitte zwischen den 2 Stationen jedes der 64 breitesten Stationsintervalle (MAX_STATION_ROWS; jedes Intervall, wenn es höchstens 64 gibt; zusätzliche Stationen eingeschlossen); übrige Zeilen: Dickenprüfungen aus Abschnitt 3.6
Abtastwerte je Knotenintervall	per = max(1, min(256, round(4000 · L_span / L_total))); L_span = Länge des Kontrollpolygons des Knotenintervalls (p Strecken), L_total = Summe über die nicht leeren Knotenintervalle	4
Abtastwerte insgesamt	Σ per + 1, etwa 4001	4 · spans + 1
Test	echte Kreuzungen nicht benachbarter Polygonsegmente; jede gefundene Kreuzung wird vermessen; Kreuzungen bis zur Toleranz zählen nicht; die Suche endet nach 20 Kreuzungen über der Toleranz; die größte wird gemeldet	ebenso
Suche	Gitter aus etwa √n × √n Zellen über n Segmente, jede Zelle in x und in y mindestens doppelt so groß wie der Median der Segment-Begrenzungsrechtecke; nur Segmente mit einer gemeinsamen Zelle werden geprüft; eine Zelle mit mehr als 32 Segmenten erhält ein eigenes Gitter über den Bereich ihrer Segmente, höchstens 6 Ebenen tief (selfIntersections in src/airfoil/geometry.js)	ebenso
Größe einer Kreuzung (mittlere Breite)	die Kreuzung teilt das Polygon in 2 Teile; Teil P = der Teil mit der kleineren Diagonale des achsparallelen Hüllrechtecks; Größe = Fläche(P) / Diagonale(P), Fläche von P als geschlossenes Polygon (Gaußsche Trapezformel)	ebenso
Toleranz	Größe > 5e-4 der Profiltiefe (0,05 %) ist ein Fehler. Spitz auslaufende geschlossene Endleisten von 246 echten Dateien hinterlassen schmale Schleifen von höchstens 1,6e-5 der Profiltiefe (0,0016 %); die Schleife einer grob aufgelösten Datei mit 9 Punkten misst 2,5e-3 der Profiltiefe (0,25 %). Beim Flügelaufbau ist die Schleife außerdem auf 0,1 mm begrenzt (CROSSING_LIMIT in src/geom/profile.js), bei der größten Profiltiefe der Schnitte mit diesem Profil: Über 200 mm Profiltiefe ist eine Schleife breiter als 0,1 mm ein Fehler, und die Meldung ergänzt „die Schleife ist bei … mm Profiltiefe … mm breit, über 0,1 mm.“	Größe > min(5e-4 · c, 0,1 mm), c = Profiltiefe beim y der Zeile
Meldung	„Die NURBS-Kurve durch die Punkte überschneidet sich selbst nahe x = … % der Profiltiefe“	„Die Fläche überschneidet sich selbst bei y = … mm nahe x = … mm“
Abhilfe	eine Datei mit mehr Punkten oder feinerer Verteilung an dieser Stelle	Einstellungen > Stationen je Profilseite (Chordwise stations per surface) erhöhen; die Meldung endet mit „Einstellungen > Stationen je Profilseite erhöhen.“

Die Profilvorschau führt die Prüfung der Profilkurve und die Prüfung auf Rücklauf in x (Abschnitt 1.5) mit der Parametrisierung des Projekts aus (Einstellungen > Parametrisierung der Profile) und meldet einen Befund als Fehler curve-shape. Eine gescheiterte Interpolation (Abschnitt 1.2) ist ebenfalls Fehler curve-shape. Die Vorschau zeigt dann Hinzufügen nicht möglich (Fehler) (Cannot add (errors)) statt Zum Projekt hinzufügen (Add to project).

1.5 Rücklauf in x

Die Neuabtastung aus Abschnitt 2 löst x(u) = Zielwert je Profilseite. Eine Profilseite, die in x zurückläuft, hat mehrere Lösungen; die Neuabtastung verliert den zurücklaufenden Teil.

Eigenschaft	Wert
Abtastwerte	die Abtastwerte der Profilkurve aus Abschnitt 1.4
Oberseite (u von 0 bis u_LE)	Rücklauf = x − bisheriges Minimum von x
Unterseite (u von u_LE bis 1)	Rücklauf = bisheriges Maximum von x − x
Toleranz	Rücklauf > 1e-4 der Profiltiefe (0,01 %) ist ein Fehler
Meldung	„Die Profilseite läuft in x um … % der Profiltiefe zurück, nahe x = … % der Profiltiefe“

2. Gemeinsame Tiefenstationen

Jedes Profil wird an denselben N + 1 Tiefenanteilen je Profilseite abgetastet. Die Verteilung ist kosinusförmig: am feinsten an Nasen- und Endleiste.

s_k = (1 − cos(π k / N)) / 2          k = 0 … N

N	Kleinster Schritt (an Nase und Endleiste)	Größter Schritt (Profilmitte)	Punkte je Schnitt
16	0,961 % der Profiltiefe	9,75 % der Profiltiefe	33
60 (Vorgabe)	0,0685 % der Profiltiefe	2,62 % der Profiltiefe	121
200	0,00617 % der Profiltiefe	0,785 % der Profiltiefe	401

Je Profilseite wird u aus x(u) = Zielwert auf dem Kurvenast bestimmt:

Oberseite:  Zielwert = x_LE + s_k (x(0) − x_LE)     u in [0, u_LE]
Unterseite: Zielwert = x_LE + s_k (x(1) − x_LE)     u in [u_LE, 1]

Eigenschaft des Lösers	Wert
Verfahren	Regula falsi (Sekantenschritt im Intervall)
Bisektionsschritt	ersetzt den Sekantenschritt in jeder dritten Iteration und immer dann, wenn der Sekantenpunkt das Intervall verlässt
Abbruch	|x(u) − Zielwert| ≤ 1e-13, Intervallbreite ≤ 1e-13 oder 200 Iterationen (dann die Intervallmitte)
Kein Vorzeichenwechsel im Intervall	das Intervallende mit dem kleineren |x(u) − Zielwert|

• k = 0 ist die Profilnase der Kurve, k = N der Kurvenendpunkt. Beide werden ohne Lösen übernommen.
• Ergebnis: 2N + 1 Punkte. Index 0 … N: Oberseite Endleiste → Nase. Index N … 2N: Unterseite Nase → Endleiste. Die Profilnase hat den Index N.

Einheitstiefe (unitChord in src/geom/wing.js):

x_TE,mid = (x_0 + x_2N) / 2
c_curve  = x_TE,mid − x_N
x_unit   = (x − x_N) / c_curve
z_unit   = (z − z_N) / c_curve

Ergebnis: Die NURBS-Profilnase liegt bei (0, 0), die Endleistenmitte bei x_unit = 1.

Eigenschaft	Folge
Punkt k hat in jedem Schnitt denselben Tiefenanteil auf derselben Profilseite	Schnitte werden Punkt für Punkt interpoliert
Die Profilnase ist in jedem Schnitt Punkt N	die Nasenleiste liegt auf einem Flächenparameter u_LE

Einschränkung: x(u) muss von der Profilnase zu jedem Endleistenendpunkt monoton steigen. Ein Rücklauf über 1e-4 der Profiltiefe ist ein Fehler (Abschnitt 1.5). Bei einem kleineren Rücklauf liefert der Löser für die betroffenen Stationen eine von mehreren Lösungen. Die Warnung non-monotonic der Plausibilitätsprüfungen prüft nur die Dateipunkte (x-Abnahme > 1e-6 der Profiltiefe zwischen benachbarten Punkten einer Profilseite), nicht die Kurve. Der Fehler folds der Plausibilitätsprüfungen weist ein Profil ab, dessen Ober- oder Unterseite an mehr als 50 Punkten in x zurückläuft: „Die Oberseite läuft an … Punkten in x zurück; die Grenze liegt bei 50.“ (Unterseite ebenso).

3. Stationen in Spannweitenrichtung

3.1 Interpolation der Schnittwerte

Jede Größe f eines Schnitts (x, z, Profiltiefe, Schränkung und die 2N + 1 Konturpunkte) wird als gewichtete Summe mit Gewichten w_i(y) interpoliert:

f(y) = Σ_i w_i(y) f_i          Σ_i w_i(y) = 1

Interpolation in Spannweitenrichtung (Spanwise interpolation)	Gewichte w_i(y)	Bedingung
Linear zwischen den Schnitten (Linear between sections)	Hutfunktionen: linear zwischen den beiden benachbarten Schnitten	jede Anzahl von Schnitten
Gerade Felder (gerade Linien zwischen den Schnitten, wie XFLR5) (Straight panels (straight lines between sections, as XFLR5))	Hutfunktionen, wie Linear, für die Prüfstellen aus Abschnitt 3.6; die Fläche selbst verbindet die platzierten Schnitte mit geraden Linien (unten)	jede Anzahl von Schnitten; keine Leitkurve eingeschaltet
Glatt (natürlicher kubischer Spline durch die Schnitte) (Smooth (natural cubic spline through sections))	Kardinalfunktionen eines natürlichen kubischen Splines durch die Schnittpositionen y_i (zweite Ableitung 0 an Wurzel und Rand)	3 oder mehr Schnitte; bei 2 Schnitten gelten die Hutfunktionen

• y außerhalb von [y_root, y_tip] wird auf den Bereich begrenzt.

• Linear überblendet das normierte Profil, die Profiltiefe und die Schränkung getrennt: In der Mitte zwischen zwei Schnitten ist die Station das überblendete Profil, skaliert mit der überblendeten Profiltiefe und gedreht um die überblendete Schränkung. Ändert sich die Profiltiefe zusammen mit dem Profil oder der Schränkung, biegt das Produkt das Feld, und die zusätzlichen Stationen aus Abschnitt 3.2 lassen die Fläche der Biegung folgen.

• Gerade Felder (Straight panels) verbinden die Punkte gleichen Profiltiefenanteils zweier benachbarter Schnitte mit geraden Linien, wie XFLR5 seine Felder baut:

  S(u_j, v) = (1 − t) P_j(y_i) + t P_j(y_(i+1))          t = (y − y_i) / (y_(i+1) − y_i)
  

  P_j(y_i) ist Punkt j des Schnitts i, im Raum platziert, in der Ebene des Schnitts (Abschnitt 3.8). Mit Schnittebenen Auf Gehrung ist das die Fläche von XFLR5; mit Schnittebenen Senkrecht sind die Schnitte quer zu einem Feld mit V-Form dünner (Abschnitt 3.8). Beispiel: NACA 0014 bei 400 mm Profiltiefe und NACA 0008 bei 100 mm Profiltiefe, 100 mm voneinander entfernt. In der Mitte ergeben Gerade Felder eine Dicke von 32,0 mm (der Mittelwert von 56 mm und 8 mm), Linear 27,5 mm (11 % von 250 mm), und die Fläche bei Linear liegt bis zu 2,3 mm neben den geraden Linien (3,1 mm bei einer Schränkung von −3° am Rand). Gemessen an der STL-Datei, die der Code von XFLR5 6.62 schreibt: Das Randfeld von UltraStick120.xfl (NACA 0014 bei 406,4 mm bis zu einer Profiltiefe von 12,7 mm, 101,6 mm lang): Jeder Eckpunkt von XFLR5 liegt innerhalb von 0,04 mm der mit Gerade Felder gebauten Fläche (in der Mitte 100,03 % der Dicke von XFLR5) und bis zu 4,17 mm neben der mit Linear gebauten (69,75 %).

• Gerade Felder mit eingeschalteter Leitkurve stoppen den Aufbau: „Gerade Felder folgen keinen Leitkurven: die Leitkurven in der Registerkarte Grundriss ausschalten oder Einstellungen > Interpolation in Spannweitenrichtung auf „Linear“ oder „Glatt“ setzen.“

• Glatt (Smooth): Die Berechnung wertet den Spline jedes überblendeten Werts direkt aus. Ein Tridiagonalsystem der Größe Schnitte − 2 (Thomas-Algorithmus, ohne Pivotsuche; das System ist diagonaldominant) liefert die zweiten Ableitungen aller Werte an den Schnitten, eine rechte Seite je Wert. n Schnitte mit m Werten: einmal O(n · m) Rechenschritte, dann O(m) je Spannweitenposition aus den beiden benachbarten Schnitten. Das Ergebnis gleicht der gewichteten Summe mit den Kardinalfunktionen bis auf Rundungsfehler.

• Glatt: Die Kardinalfunktionen verlassen zwischen den Schnitten den Bereich [0, 1] (3 gleich verteilte Schnitte: kleinstes Gewicht −0,096). Große Dicken- oder Tiefenänderungen und ungleiche Abstände verstärken das Überschwingen.

• Glatt, Fehler beim Aufbau (Abschnitt 3.6): ein interpolierter Wert liegt um mehr als das 2-Fache des Bereichs seiner Schnittwerte außerhalb dieses Bereichs; eine negative interpolierte Dicke; ein interpoliertes x der Profilnase, x der Endleiste oder z außerhalb von ±1 200 000 mm oder eine Profiltiefe über 100 000 mm.

3.2 Lage der Stationen

Bedingung	Stationen je Feld	Verteilung im Feld	Grad der Fläche entlang v
Linear, keine Leitkurve eingeschaltet	1 (der Schnitt)	–	1
Gerade Felder (keine Leitkurve)	1 (der Schnitt)	–	1
Linear, eine Leitkurve eingeschaltet	K (der Schnitt und K − 1 Zwischenstationen)	kosinusförmig	min(3, K): 3 bei K ≥ 3; 2 oder 1, wenn die Grenze des Flächengitters K auf 2 oder 1 senkt
Linear, keine Leitkurve, Schnittebenen (Section planes) = Auf Gehrung (Mitred), die beiden Schnitte des Feldes in Ebenen verschiedener Neigung φ	K (der Schnitt und K − 1 Zwischenstationen)	kosinusförmig	wie oben; Felder ohne Zwischenstationen sind gerade Strecken, auf diesen Grad erhöht (Abschnitt 4)
Glatt	K (der Schnitt und K − 1 Zwischenstationen)	kosinusförmig	3 (Stationen − 1 bei weniger als 4 Stationen)

Der Randschnitt ist die letzte Station. Anzahl der Stationen: D · K + (Schnitte − 1 − D) + 1, dazu die zusätzlichen Stationen unten (Linear und Glatt; Gerade Felder fügen keine hinzu). D ist die Anzahl der Felder mit K Stationen: Schnitte − 1 (alle Felder) mit eingeschalteter Leitkurve oder mit Glatt; sonst die Felder mit Linear zwischen Gehrungsebenen verschiedener Neigung. Beispiele: Entwurfstyp Segelflugmodell (Glider), 3 Schnitte, K = 8: 17 Stationen; Entwurfstyp Sportmodell (Sport) (2 Schnitte, 1,5° V-Form, Auf Gehrung): 9 Stationen.

In einem Feld mit Linear zwischen Gehrungsebenen trägt jede Zwischenstation das überblendete Profil in ihrer eigenen Ebene (Neigung und Dickenstreckung aus Abschnitt 3.8), wie mit einer Leitkurve. Mit einer Station je Feld wäre die Fläche die Regelfläche von Gerade Felder. Die beiden unterscheiden sich, wo sich die Profiltiefe zusammen mit dem Profil oder der Schränkung ändert: Beim Entwurfstyp Sportmodell (NACA 2412 bei 240 mm, NACA 2410 bei 144 mm, −1° Schränkung am Rand) liegt die Regelfläche bis zu 0,343 mm neben der Fläche bei Linear, und das Volumen unterscheidet sich um 1,4 %. Derzeitige Einschränkung: Jeder Unterschied der Neigung schaltet ein Feld bei Linear von einer Station auf K Stationen um. NACA 2412 bei 300 mm Profiltiefe bis NACA 0009 bei 100 mm Profiltiefe, −4° Schränkung, 600 mm langes Feld: Eine V-Form von 1e-6° statt 0° verschiebt die Fläche um bis zu 0,17 mm und ändert das Volumen um 0,25 %.

y_(i,k) = y_i + (y_(i+1) − y_i) (1 − cos(π k / K)) / 2          k = 0 … K − 1

Unterscheidbare Spannweitenanteile: a < b sind unterscheidbar, wenn b − a > max(4 ε · max(|a|, |b|), 2^-1021), ε = 2^-52 (paramsApart in src/geom/nurbs.js). Zwei nicht unterscheidbare Schnitte sind ein Fehler; eine Zwischenstation, die von der letzten behaltenen Station oder vom Rand nicht unterscheidbar ist, entfällt; Leitkurven im Modus „Durch Punkte“ wenden dieselbe Regel auf das normierte y ihrer Punkte an.

Flächengitter (loftGrid in src/model/budget.js): Stationen mal Konturpunkte vor dem Einfügen zusätzlicher Stationen, (D · K + (Schnitte − 1 − D) + 1) · (2N + 1) Punkte. Mit D = 0 (Linear ohne Leitkurve und ohne Felder zwischen Gehrungsebenen verschiedener Neigung, und Gerade Felder) gilt K_set = 1. Die Grenzen gelten in jedem Modus.

Größe	Wert
Warnschwelle	über 60 000 Gitterpunkten (WARN.gridPoints): Der Aufbau ergänzt die Warnung „Großes Projekt: …“ mit „… Punkte im Flächengitter (Warnung über 60.000)“ und der erwarteten Zeit und dem Arbeitsspeicher jeder Änderung. Einstellungen (Settings) zeigt unter den Auflösungsfeldern „Flächengitter: … Punkte.“, über 60 000 mit Zeit und Speicher.
Grenze	5 000 000 Gitterpunkte (LIMITS.maxGridPoints in src/model/project.js); darüber geht einem Browser-Tab auf einem Desktop-Rechner der Speicher aus
Verwendetes K	max(1, min(K_set, floor((5 000 000 / (2N + 1) − 1 − (Schnitte − 1 − D)) / D))), das größte K, dessen Gitter (D · K + (Schnitte − 1 − D) + 1) · (2N + 1) höchstens 5 000 000 Punkte hat; K_set = Wert in Einstellungen. K < K_set nur über 5 000 000 Gitterpunkten.
Warnung (K < K_set)	„Stationen je Feld von K_set auf K verringert: S Schnitte mit N Stationen je Profilseite halten die Fläche bei höchstens 5.000.000 Gitterpunkten.“
Fehler (mehr als 5 000 000 Gitterpunkte mit dem verwendeten K)	„Das Flächengitter braucht P Punkte bei einer Station je Feld (S Schnitte, N Stationen je Profilseite); die Grenze liegt bei 5.000.000. Die Stationen je Profilseite verringern oder Schnitte entfernen.“ Es wird keine Fläche aufgebaut.
Beispiel	200 Schnitte, K_set = 8, N = 60 (Vorgaben): K = 8, 1593 Stationen, 192 753 Gitterpunkte: Warnung mit Zeit und Speicher
Beispiel	2000 Schnitte, K_set = 8, N = 200: K = 6, 11 995 Stationen, 4 809 995 Gitterpunkte
Beispiel	4200 Schnitte, K_set = 8, N = 200, Linear mit einer Leitkurve: K = 2, 8399 Stationen, 3 367 999 Gitterpunkte; Grad der Fläche entlang v 2
Beispiel	20 000 Schnitte, N = 200, jeder Modus: K = 1, 8 020 000 Gitterpunkte: Fehler

Zusätzliche Stationen (Linear und Glatt): Die Fläche verläuft nur durch die Stationen. Zwischen den Stationen kann sie von der vorgesehenen Fläche abweichen, auch durch Schränkung. Gerade Felder überspringen den Vergleich: Die geraden Linien zwischen den Schnitten sind die vorgesehene Fläche, und es wird keine Station hinzugefügt. Nach der Flächenanpassung (Abschnitt 4) vergleicht der Aufbau Flächenpunkte mit den Punkten einer bei y platzierten Station (Abschnitte 3.4, 3.7, 3.8), im Raum (probe in src/geom/wing.js).

Parameter	Wert
Verglichene Konturpunkte j	N (Profilnase), 0 (oberer Endleistenpunkt), N − k (Oberseite) und N + k (Unterseite) für k = s, 2s, … < N; s = max(1, floor(N / 6))
Verglichene Tiefenstationen je Profilseite	N = 16: 7. N = 60: 5 (k = 10, 20, 30, 40, 50; s_k = 6,7 %, 25 %, 50 %, 75 %, 93,3 % der Profiltiefe). N = 200: 6.
Abweichung bei y	Maximum über j von |S(u_j, v) − P_j|, Abstand im Raum; u_j = Flächenparameter des Konturpunkts j (Abschnitt 4), P_j = Punkt j der bei y platzierten Station
Toleranz	min(0,5 mm; 0,1 · c(y))
Einfügen	Abweichung an jeder Prüfposition y aus Abschnitt 3.6; je eine Station an jedem lokalen Maximum von Abweichung / Toleranz, an dem die Abweichung die Toleranz überschreitet (die Toleranz schrumpft mit der Profiltiefe, sodass die größte Abweichung unter ihrer Toleranz liegen kann, während kleinere weiter außen ihre überschreiten); eine neue Station hält mindestens 1e-6 · (y_tip − y_root) Abstand zu jeder anderen Station
Grenze	6 Durchläufe, insgesamt 32 zusätzliche Stationen; über 60 000 Gitterpunkten (WARN.gridPoints) 1 Durchlauf, denn jeder Durchlauf passt die ganze Fläche neu an
Behaltene Anpassung	von den Anpassungen vor und nach jedem Durchlauf die mit dem kleinsten Maximum über die Prüfpositionen von Abweichung / Toleranz; bei Gleichstand die frühere. Dicht beieinander hinzugefügte Stationen können die kubische Anpassung ausschwingen lassen: 2 Schnitte, Nasenlinie mit einer Beule von 4 mm Höhe und 0,06 mm Breite (Kontrollpunkte): 3,67 mm ohne zusätzliche Stationen, 18 797 mm nach 32 zusätzlichen Stationen; der Aufbau behält die erste Anpassung und warnt
Nach der letzten Anpassung	Profiltiefe und örtliche Dicke der angepassten Fläche (Abschnitt 3.6) zusätzlich bei 0,25, 0,5 und 0,75 jedes Stationsintervalls (Viertelpunkte); sie gehen nur in die Fehler aus Abschnitt 3.6 ein: Dort wird keine Station eingefügt, und die Abweichung dort geht nicht in die Warnung ein
Abweichung über der Toleranz an einer Prüfposition	Warnung mit der größten Abweichung an den Prüfpositionen, deren y und Anzahl der zusätzlichen Stationen; Abhilfe: K erhöhen

Derselbe Vergleich liefert die Profiltiefe und die örtliche Dicke der angepassten Fläche (Abschnitt 3.6).

Beispiel: Entwurfstyp Pfeilnurflügel (Swept flying wing) mit 3 Schnitten, Linear und Schränkung am Rand −4°: 2 zusätzliche Stationen bei y = 150,0 mm und y = 450,0 mm. Derselbe Entwurfstyp mit Schränkung am Rand 0°: keine zusätzliche Station.

Spitze elliptische Flügelenden: Im Assistenten stehen Grundriss (Planform) auf Elliptisch (mit Leitkurven) (Elliptic (guide curves)) und Flügelende (Tip) auf Spitz (Maßstab 1/200) (Pointed (1/200 scale)). Jeder der 6 Entwurfstypen mit geradem oder elliptischem Grundriss (Trainer, Sportmodell, Segelflugmodell, Pfeilnurflügel, Brettnurflügel, Leitwerk) ergibt 5 bis 9 zusätzliche Stationen. Größte Abweichung an den Prüfpositionen: 0,077 mm (Leitwerk (Tail surface)) bis 0,371 mm (Pfeilnurflügel), unter der Toleranz; keine Warnung. Nasenlinie und Endlinie enden ein Viertel und drei Viertel der Randtiefe um die Pfeillinie, sodass der Randschnitt seinen Viertelpunkt auf dieser Linie behält. Innerhalb von 2 mm vor dem Flügelende weichen x von Nasen- und Endleiste der Fläche höchstens 0,031 mm (Pfeilnurflügel; 2001 Spannweitenpositionen) vom vorgesehenen Grundriss ab; die übrigen Konturpunkte dort sind nicht gemessen, und die Warnung erfasst diese Positionen nicht.

3.3 Leitkurven

Nasenlinie (Nasenleiste) und Endlinie (Endleiste): ebene B-Spline-Kurven in der Grundrissebene (x, y), Punkte P_0 … P_n.

Eigenschaft	Durch Punkte (Through points) (fit)	Kontrollpunkte (Control points) (control)
Rolle der Punkte	die Kurve verläuft durch sie	Kontrollpolygon
Parameter	proportional zu y: t_k = (y_k − y_0) / (y_n − y_0)	–
Knotenvektor	geklemmt, durch Mittelwertbildung (Gl. 9.8)	geklemmt, gleichabständig, innere Knoten j / (n − p + 1) (Gl. 9.7)
Grad (Degree)	1 bis 5, Vorgabe 3, höchstens n	1 bis 5, Vorgabe 3, höchstens n

Bedingungen (Verletzung = Fehler, keine Fläche):

• mindestens 2 Punkte, alle Werte endlich
• y von Punkt zu Punkt streng steigend
• y(t) nicht fallend, geprüft an 401 Parametern mit Toleranz 1e-9 mm
• x jedes Kontrollpunkts der Kurve innerhalb von ±1 200 000 mm (LIMITS.maxExtent); bei Durch Punkte sind das die Kontrollpunkte, die die Interpolation berechnet. Ein B-Spline liegt in der konvexen Hülle seiner Kontrollpunkte, daher bleibt die ganze Kurve in dieser Grenze. Meldung: „Nasenlinie: Die Kurve durch die Punkte erreicht x = … mm, jenseits von ±1.200.000 mm; die Punkte in y gleichmäßiger verteilen oder den Modus ‚Kontrollpunkte‘ verwenden.“ (Endlinie: „Endlinie: …“)

Mit Durch Punkte ist y(t) linear in t, weil ein Spline lineare Funktionen exakt wiedergibt.

Abbildung auf die Spannweite: Der y-Bereich der Leitkurve [y_first, y_last] wird linear auf [y_root, y_tip] gestreckt.

f   = clamp((y − y_root) / (y_tip − y_root), 0, 1)
t   = Lösung von (y(t) − y_first) / (y_last − y_first) = f
      (Löser aus Abschnitt 2 auf dem normierten y, bis das t-Intervall höchstens 1e-15 breit ist)
x   = x(t)

Auf Schnitte zurücksetzen (Reset to sections) setzt die Punkte der Leitkurve auf die Kanten der Schnitte:

Leitkurve	Punkt je Schnitt
Nasenlinie	(x, y) der Profilnase
Endlinie	(x + c, y) der Endleiste

Eine ausgeschaltete Leitkurve ohne Bearbeitung folgt diesen Punkten (Dateiformate, Abschnitt guides.nose, guides.end). x eines Leitkurvenpunkts ist auf ±1 100 000 mm begrenzt (LIMITS.maxGuideCoordinate): x eines Schnitts bis 1 000 000 mm plus eine Profiltiefe bis 100 000 mm.

Registerkarte Grundriss, Entwurfstyp Segelflugmodell. Bedienelemente: Benutzerhandbuch, Abschnitt Grundriss.

3.4 Lage der Profilnase und Profiltiefe je Station

Eingeschaltete Leitkurven	x_LE	Profiltiefe c
keine	interpoliertes x	interpolierte Profiltiefe
Nasenlinie	x der Nasenlinie	interpolierte Profiltiefe
Endlinie	x der Endlinie − c	interpolierte Profiltiefe
beide	x der Nasenlinie	x der Endlinie − x der Nasenlinie

z und Schränkung werden immer interpoliert.

3.5 Flügelende

Flügelende (Wing tip)	Geometrie
Flach (am Randschnitt abgeschnitten) (Flat (cut at the tip section))	der Flügel endet am Randschnitt mit einer ebenen Abschlussfläche
Spitz (Randprofil verkleinert) (Pointed (tip profile scaled down))	der Randschnitt erhält die Profiltiefe c_tip (Vorgabe 1/200 von c(y_prev), mindestens 1 mm); der Flügel endet mit einer ebenen Abschlussfläche der Profiltiefe c_tip; mit beiden Leitkurven ist die Randtiefe der Abstand der Leitkurven bei y_tip, mindestens c_tip

Spitzes Flügelende:

c_tip = max(r · c(y_prev), 1 mm)

Größe	Wert
y_prev	Spannweitenposition des vorletzten Schnitts
c(y_prev)	Profiltiefe dort, nach Anwendung der Leitkurven
r	1 / q. q: Wert von Maßstab des Randprofils 1 : N der Tiefe des vorherigen Schnitts (Tip profile scale 1 : N of the previous section chord). Bereich 100 bis 1000, Schritt 50, Vorgabe 200 (r = 0,005).
c_tip = 1 mm (r · c(y_prev) < 1 mm)	die Tabelle der Registerkarte Schnitte (Sections) zeigt (min.) hinter der Randtiefe; entfällt, wenn die Warnung unten greift
Letztes Feld	eine Profiltiefe unter c_tip und über −0,01 mm wird auf c_tip angehoben
Warnung	beide Leitkurven eingeschaltet und die Randtiefe (x der Endlinie − x der Nasenlinie bei y_tip) größer als c_tip + 0,5 mm; der Flügel endet dann mit dieser Profiltiefe; die Meldung nennt beide Werte

Beispiel: Entwurfstyp Segelflugmodell (Leitkurven enden 90 mm voneinander entfernt) mit Flügelende = Spitz (Pointed): c_tip = 1 mm, Randtiefe 90 mm, Warnung „Spitzes Flügelende: Nasenlinie und Endlinie enden 90,0 mm voneinander entfernt, daher beträgt die Randtiefe 90,0 mm statt 1,00 mm“.

3.6 Prüfungen beim Aufbau

Prüfpositionen y:

• jede Station aus Abschnitt 3.2
• 257 gleichmäßig verteilte Positionen: y_root + (y_tip − y_root) k / 256, k = 0 … 256
• y jedes Kontrollpunkts einer Leitkurve und des Kurvenpunkts an jedem Knoten, linear auf [y_root, y_tip] abgebildet

Dicke an einer Prüfposition als Anteil der Profiltiefe (oberer minus unterer Punkt an derselben Tiefenstation):

t_k = z_unit,(N−k) − z_unit,(N+k)          k = 1 … N − 1

Tiefenstationen hinter 99 % der Profiltiefe (s_k > 0,99): Ein negatives t_k mit einem Betrag bis min(1e-4, 0,1 mm / c) zählt als 0. Die neu abgetastete Endleiste eines spitz auslaufenden Profils kann in einer Kreuzungsschleife liegen, die die Kurvenprüfung aus Abschnitt 1.4 zulässt (Schleifen mit einer mittleren Breite bis 5e-4 der Profiltiefe, höchstens 0,1 mm).

Positionen der angepassten Fläche: die Prüfpositionen und die Viertelpunkte 0,25, 0,5 und 0,75 jedes Stationsintervalls nach der letzten Anpassung (Abschnitt 3.2).

Örtliche Dicke der angepassten Fläche bei y, für die verglichenen Tiefenstationen k aus Abschnitt 3.2: die Flächenpunkte S(u_(N−k), v) und S(u_(N+k), v), zurückgerechnet in das System mit Einheitstiefe der Station bei y (Verschiebung, Neigung, Tiefenmaßstab, Schränkung und Dickenstreckung rückgängig gemacht), oberes z minus unteres z.

Prüfungen in der Reihenfolge des Codes. Jede Zeile ist ein Fehler; es wird keine Fläche aufgebaut.

Prüfung	Bedingung
Anzahl der Schnitte	weniger als 2 Schnitte
Projektgrenzen	Profiltiefe eines Schnitts über 100 000 mm, x, y oder z eines Schnitts außerhalb von ±1 000 000 mm, Schränkung außerhalb von ±360°, mehr als 20 000 Schnitte, oder eine Leitkurve (ein- oder ausgeschaltet) mit mehr als 20 000 Punkten, einem Punkt mit x außerhalb von ±1 100 000 mm oder y außerhalb von ±1 000 000 mm. Dieselben Grenzen wie bei Öffnen (Open) (limitErrors in src/model/project.js); ein Projekt, das nicht gespeichert werden kann, kann daher nicht exportiert werden. Jede überschrittene Grenze ergibt eine Meldung, z. B. „Schnitt 3: Schränkung muss innerhalb von ±360 Grad liegen.“ oder „Schnitt 2: Profiltiefe darf höchstens 100.000 mm betragen.“ Mehr als 20 000 Schnitte: nur die Meldung „Höchstens 20.000 Schnitte werden unterstützt (N gefunden).“, die Schnitte werden nicht gelesen. Eine Leitkurve mit mehr als 20 000 Punkten: „guides.nose.points: höchstens 20.000 Punkte (N gefunden).“ (Endlinie: guides.end.points).
Seite der Wurzel	erster Schnitt (nach Sortierung nach y) bei y < 0: „liegt auf der gespiegelten Seite“
Lage der Schnitte	2 Schnitte mit demselben y
Profilverweis	ein Schnitt verweist auf eine Profil-ID, die im Projekt fehlt
Profil	Fehler der Plausibilitätsprüfungen, fehlgeschlagene NURBS-Interpolation, sich selbst überschneidende NURBS-Kurve (Abschnitt 1.4) oder Rücklauf in x (Abschnitt 1.5). Bei Parametrisierung Sehnenlänge (Chord length) oder Gleichabständig (Uniform) endet die Meldung mit „Die Einstellung ‚Zentripetal‘ unter Einstellungen > Parametrisierung der Profile folgt den Punkten genauer.“
Leitkurven	eine Bedingung aus Abschnitt 3.3 verletzt
Gerade Felder	Gerade Felder mit eingeschalteter Leitkurve (Abschnitt 3.1)
Schnittebenen, Dickenstreckung	Schnittebenen Auf Gehrung (nicht mit Glatt, Abschnitt 3.8): ein Schnitt, dessen Ebene mehr als 60° schräg zu einem benachbarten Feld liegt (zu seinem Feldwinkel, Abschnitt 3.8), eine Dickenstreckung m über 2 (MAX_STRETCH in src/geom/planes.js): ein erstes Feld steiler als 60° oder eine Änderung der V-Form um mehr als 120° an einem Schnitt. Eine Ebene, die gerundet 60,0° schräg liegt, gilt als innerhalb der Grenze (unter 60,05°, STRETCH_LIMIT): Schnittpositionen haben 4 Nachkommastellen. Die Dickenstreckung wird nie begrenzt. Meldung, mit dem Winkel auf 1 und der Dickenstreckung auf 3 Nachkommastellen: „Schnitt n: Seine Gehrungsebene liegt …° schräg zum benachbarten Feld, das streckt das Profil auf das …-Fache (Grenze 2, 60°). Die Änderung der V-Form dort verringern oder Einstellungen > Schnittebenen auf „Senkrecht“ setzen.“ Beispiel: ein erstes Feld mit 65°: „… liegt 65,0° schräg … auf das 2,366-Fache …“.
Flächengitter	mehr als 5 000 000 Gitterpunkte mit den verwendeten Stationen je Feld (Abschnitt 3.2)
Schnittebenen, Faltung	Schnittebenen Auf Gehrung, Gerade Felder: Die Ebenen zweier benachbarter Schnitte verschiedener Neigung schneiden sich in einer Geraden parallel zu x. Die Fläche zwischen ihnen faltet sich, wenn diese Gerade durch eines der beiden platzierten Profile geht (seine Ausdehnung entlang der Aufwärtsrichtung seiner Ebene, mit Profiltiefe, Schränkung und Dickenstreckung), wenn die beiden Profile auf verschiedenen Seiten der Geraden liegen oder wenn das innere Profil weiter außen liegt als die Ebene des äußeren (planeFold in src/geom/planes.js). Meldung: „Schnitte a und b: Ihre Gehrungsebenen schneiden sich … mm von der Position (y, z) von Schnitt a entfernt, innerhalb der Profile, daher faltet sich die Fläche zwischen ihnen. Das Feld verlängern, die Änderung der V-Form verringern oder Einstellungen > Schnittebenen auf „Senkrecht“ setzen.“ Beispiel: Felder mit 0°, 40° (10 mm lang) und 80°, NACA 0012 bei 300 mm Profiltiefe: Die um 20° und 60° geneigten Ebenen schneiden sich 14,6 mm von Schnitt 2 entfernt, innerhalb seiner ±19,2 mm; bei 150 mm Profiltiefe (±9,6 mm) wird die Fläche gebaut. Felder bei Linear: die Prüfung „Schnittebenen, Drehung“.
Schnittwerte	x_LE, c, z oder cos(Schränkung) einer Prüfposition ist keine endliche Zahl. Meldung: „Die Schnittwerte ergeben bei y = … mm nicht endliche Koordinaten; Positionen, Profiltiefen und Schränkungen der Schnitte prüfen.“
Ausdehnung der Geometrie	an einer Prüfposition: x_LE, x_LE + c (Endleiste) oder z außerhalb von ±1 200 000 mm (LIMITS.maxExtent) oder c über 100 000 mm. Ursachen: Überschwingen bei Glatt; eine Leitkurve nahe ±1 200 000 mm, bei der die hinzugerechnete oder abgezogene Profiltiefe die Ausdehnung verlässt; Nasenlinie und Endlinie mehr als 100 000 mm voneinander entfernt. Meldung: „Bei y = … mm verlässt der Flügel die Projektgrenzen (x der Profilnase … mm, z … mm, Profiltiefe … mm; Grenzen ±1.200.000 mm und 100.000 mm Profiltiefe). Die Leitkurven prüfen oder lineare Interpolation verwenden.“
Schnittebenen, Drehung	Schnittebenen Auf Gehrung, Linear: An einer Prüfposition in einem Feld, dessen zwei Ebenen verschieden sind, ändert sich die Neigung φ entlang y um dφ/dy = (φ_(i+1) − φ_i) / (y_(i+1) − y_i). Ein Punkt in der Höhe t in der Ebene seiner Station (entlang der Aufwärtsrichtung, mit Profiltiefe, Schränkung und Dickenstreckung) wandert mit der Rate cos φ + tan δ · sin φ − t · dφ/dy je mm Spannweite durch diese Ebene; t ist der höchste Punkt des Profils bei dφ/dy > 0, der tiefste bei dφ/dy < 0; δ ist die V-Form aus den Schnittpositionen, die Richtung, in der sich die Station bewegt, auch wo das Feld einen Feldwinkel speichert. An der Position eines Schnitts werden beide benachbarten Felder geprüft. Bei 0 oder darunter faltet sich die Fläche, auch wo sich die Ebenen der Stationen um die Position nicht schneiden. Meldung: „Schnitte a und b: Bei y = … mm drehen sich die Gehrungsebenen zwischen ihnen schneller, als die Profile es zulassen, daher faltet sich die Fläche. Das Feld verlängern, die Änderung der V-Form verringern oder Einstellungen > Schnittebenen auf „Senkrecht“ setzen.“ Beispiel: NACA 0018 mit 217 mm Profiltiefe, Neigungen 0° und 46,9° über ein 21,7 mm langes Feld: an der Wurzel 1 − 30,4 mm · 0,0377/mm < 0; die Ebenen der Feldenden schneiden sich 46 mm oberhalb in der Wurzelebene, außerhalb des Profils. Gerade Felder sind zwischen den Schnitten Regelflächen; für sie gilt die Prüfung „Schnittebenen, Faltung“.
Überschwingen bei Glatt	Nur Glatt. An einer Prüfposition liegt ein interpolierter Wert um mehr als 2 × (max − min) seiner Schnittwerte außerhalb von [min, max] (OVERSHOOT_LIMIT = 2). Werte: x_LE (keine Leitkurve eingeschaltet), Profiltiefe (nicht beide Leitkurven eingeschaltet), z, Schränkung und die Höhe z_unit jedes Konturpunkts k = 1 … 2N − 1. Die Meldung nennt den Wert mit dem größten Überschwingen (x der Profilnase, Profiltiefe, z, Schränkung, Höhe der Oberseite bei x = … % der Profiltiefe oder Höhe der Unterseite bei x = … % der Profiltiefe), sein y, den Bereich der Schnittwerte und den kleinsten Abstand zwischen 2 Schnitten. Abhilfe laut Meldung: Linear, gleichmäßiger verteilte Schnitte oder weniger dicht liegende Schnitte.
Interpolierte Dicke	min t_k < −1e-9 an einer Prüfposition. Glatt: Überschwingen (Abschnitt 3.1); Abhilfe laut Meldung: Linear oder mehr Schnitte. Linear: Ober- und Unterseite eines Profils kreuzen sich an dieser Tiefenstation; Abhilfe laut Meldung: Profile prüfen oder Stationen je Profilseite (Chordwise stations per surface) erhöhen. Die Meldung nennt y und x.
Dicke nach der Einstellung Endleiste (Trailing edge)	min t_k < −1e-9 nach der Änderung der Endleistendicke aus Abschnitt 3.7. Geprüft an Positionen mit c ≥ 1 mm. Feste Dicke in mm (Fixed thickness in mm): Endleistendicke auf 5 % der Profiltiefe begrenzt. Ursache: Das Profil ist innen dünner als die eingestellte Endleistendicke.
Berührung der Profilseiten	min t_k ≤ 1e-5 (0,001 % der Profiltiefe) an den Tiefenstationen s_k von 0,01 bis 0,99, nach der Einstellung Endleiste aus Abschnitt 3.7. Geprüft an Positionen mit c ≥ 1 mm. Die Meldung nennt y und x. Wie in den Profildateien (As in the airfoil files): Abhilfe Linear oder mehr Schnitte; andere Modi: Abhilfe Wie in den Profildateien oder eine dickere Endleiste.
Profiltiefe	kleinste Profiltiefe < 1 mm; die Meldung nennt Profiltiefe und zugehöriges y
Profiltiefe, Hinweis	wie oben, Minimum am Rand, Profiltiefe > −0,01 mm, Flügelende = Flach (Flat): die Meldung ergänzt „Für ein Flügelende, das in einer Spitze endet, Einstellungen > Flügelende auf ‚Spitz‘ setzen.“
Stationsebenen	Schnittebenen Auf Gehrung, nach der Anpassung: Bei zwei benachbarten Stationen verschiedener Neigung liegt ein Punkt der äußeren Station, vom selben Punkt der inneren Station aus gesehen, nicht jenseits der Ebenen beider Stationen. Meldung: „Die Fläche faltet sich zwischen den Stationen bei y = … mm und y = … mm (Feld von Schnitt a bis b): Ihre Schnittebenen kreuzen sich innerhalb der Profile. Das Feld verlängern, die Änderung der V-Form verringern oder Einstellungen > Schnittebenen auf „Senkrecht“ setzen.“
Angepasste Fläche, endlich	nach der Flächenanpassung und den zusätzlichen Stationen (Abschnitt 4): eine Koordinate eines Kontrollpunkts ist keine endliche Zahl. Meldung: „Die angepasste Fläche hat nicht endliche Koordinaten; Positionen, Profiltiefen und Schränkungen der Schnitte prüfen.“
Dicke der angepassten Fläche	an jeder Position der angepassten Fläche: örtliche Dicke < −1e-9 (hinter 99 % der Profiltiefe: < −min(1e-4, 0,1 mm / c)) an einer verglichenen Tiefenstation („Die angepasste Fläche stülpt sich zwischen den Stationen … um“), oder ≤ 1e-5 (0,001 % der Profiltiefe) an einer verglichenen Tiefenstation von 1 % bis 99 % der Profiltiefe („Die angepasste Fläche hat zwischen den Stationen … die Dicke null“). Die Meldung nennt y und die Dicke. Ursache laut Meldung: Die Fläche durch die Stationen schwingt zwischen ihnen aus (schnell veränderliche Leitkurven oder ungleich verteilte Schnitte im Modus Glatt). Abhilfe laut Meldung: Leitkurven glätten, Schnitte gleichmäßiger verteilen oder Schnitte hinzufügen.
Profiltiefe der angepassten Fläche	an jeder Position der angepassten Fläche: c_fit < 0,9 mm (1 mm Mindesttiefe abzüglich 10 %). c_fit = ((S(0, v) + S(1, v)) / 2 − S(u_LE, v)), im Raum auf die vorgesehene Profiltiefenrichtung der Station bei y projiziert. Meldung: „Die angepasste Fläche faltet sich oder schnürt sich zwischen den Stationen … ein“
Selbstüberschneidung der Fläche	eine Flächenzeile an einem Schnitt, in der Mitte zwischen 2 benachbarten Schnitten oder in der Mitte zwischen den 2 Stationen eines der 64 breitesten Stationsintervalle (zusätzliche Stationen eingeschlossen) überschneidet sich in der Ebene ihrer Station (Abschnitt 1.4) mit einer Schleifengröße (mittlere Breite) über 5e-4 · c; 4 Abtastwerte je Knotenintervall (Abschnitt 1.4)

3.7 Endleiste

Je Station, nach der Interpolation:

Endleiste	Endleistendicke g als Anteil der Profiltiefe
Wie in den Profildateien (asis)	interpolierte Kontur unverändert
Geschlossen (scharf) (Closed (sharp)) (closed)	g = 0; beide Endpunkte rücken auf ihre Mitte
Feste Dicke in mm (thickness)	g = t / c, t = Endleistendicke (mm) (Trailing-edge thickness (mm)) (Vorgabe 0,4 mm), begrenzt auf 5 % der Profiltiefe

Projekt	Endleiste	t
Vorgabe des Projektmodells (Projektdateien ohne diese Einstellung)	Wie in den Profildateien	0,4 mm (ungenutzt)
Beispielflügel „Sportflügel 1500“ (englisch: „Sport wing 1500“; erster Besuch)	Feste Dicke in mm	0,5 mm
Projekte aus dem Assistenten	Feste Dicke in mm	max(0,3 mm, 0,2 % der Wurzeltiefe), auf 0,01 mm gerundet; Segelflugmodell 0,4 mm, Sportmodell (Sport) 0,48 mm, Leitwerk 0,3 mm

Änderung der Endleistendicke: Die Oberseite verschiebt sich um die halbe Änderung nach oben, die Unterseite nach unten. Das Gewicht steigt linear von 0 an der Profilnase auf 1 an der Endleiste; die Profilnase bleibt an ihrem Ort.

δ = (g − g_current) / 2
w = clamp((x − x_LE) / (x_TE,branch − x_LE), 0, 1)
Oberseite:  z ← z + δ w
Unterseite: z ← z − δ w

Eine negative Dicke nach dieser Änderung ist ein Fehler beim Aufbau (Abschnitt 3.6).

Topologie der Endleiste über alle Stationen:

Stationen	Endleiste der Fläche
|Endleistendicke| < 1e-6 mm an jeder Station	geschlossen: beide Endpunkte an jeder Station zusammengelegt
sonst	offen: jede Station mit einer Endleistendicke unter min(0,01 mm, 5 % von c) wird auf diesen Wert geöffnet

Warnung	Bedingung
Dicke begrenzt	t / c > 5 % an 1 oder mehr Stationen; Stationen im letzten Feld eines spitzen Flügelendes zählen nicht
Stationen geöffnet	offene Endleiste und 1 oder mehr Stationen mit einer Endleistendicke unter dem Minimum

3.8 Platzierung im Raum

Punkt mit Einheitstiefe (x_unit, z_unit) aus Abschnitt 2, Schränkung θ, Drehpunkt f_pivot, Neigung φ und Dickenstreckung m der Schnittebene. Die Schränkung dreht das Profil in seiner Ebene um den Drehpunkt (f_pivot, 0); die Dickenstreckung skaliert seine Dicke vor der Schränkung.

dx  = x_unit − f_pivot
r_x =  dx cos θ + m z_unit sin θ
r_z = −dx sin θ + m z_unit cos θ
X = x_LE + c (f_pivot + r_x)
Y = y − c r_z sin φ
Z = z + c r_z cos φ

Die Schnittebene verläuft durch die Schnittposition (y, z), die die ungeschränkte Profilnase, der Drehpunkt und die Endleiste gemeinsam haben. Ihre Aufwärtsrichtung ist (0, −sin φ, cos φ), ihre Normale (0, cos φ, sin φ). Mit φ = 0 und m = 1 liegt der Schnitt in der Ebene Y = y.

Einstellungen (Settings) > Schnittebenen (Section planes) (settings.sectionPlanes, src/geom/planes.js):

Wert	Neigung φ	Dickenstreckung m
Auf Gehrung (senkrecht zu den Feldern, wie XFLR5) (Mitred (square to the panels, as XFLR5)) (mitred, Vorgabe neuer Projekte)	Wurzel 0; ein Schnitt zwischen den Feldern i − 1 und i: (δ_(i−1) + δ_i) / 2, die winkelhalbierende Ebene; Rand: δ des letzten Feldes, rechtwinklig zu ihm. δ: der Feldwinkel (unten)	1 / cos(φ − δ) mit δ des Feldes außerhalb des Schnitts (am Rand: das letzte Feld; an einer Winkelhalbierenden ergeben beide Felder denselben Wert): Wurzel 1 / cos δ_0, ein Knick 1 / cos((δ_i − δ_(i−1)) / 2), Rand 1
Senkrecht (y = konstant) (Vertical (y = const)) (vertical)	0	1

• Stationen zwischen Schnitten: φ wird wie die Schränkung überblendet (Abschnitt 3.1); m = 1 / cos(φ − δ) mit δ des Feldes der Station.
• Dicke quer zu einem Feld: m cos(φ − δ) = 1 der Profildicke mit Auf Gehrung, cos δ mit Senkrecht. 35°-V-Leitwerk: Die senkrechten Schnitte haben quer zum Feld 81,9 % der Dicke; die Wurzel auf Gehrung trägt das Profil auf das 1,221-Fache gestreckt.
• Die Schränkung dreht das Profil um die Normale seiner Ebene, wie in XFLR5 und flow5. Entlang x gesehen trifft ein um φ geneigter Schnitt mit der Schränkung θ die Anströmung unter atan(tan θ cos φ): 1,64° bei 2° Schränkung und 35°.
• Die Wurzelebene ist in beiden Modi senkrecht, daher treffen sich die beiden Hälften in der Ebene y = 0.
• Glatt baut senkrechte Schnittebenen: Die Konstruktion auf Gehrung entlang eines Splines wird nicht gebaut. Mit Auf Gehrung und einem Flügel mit V-Form zeigt die Registerkarte Prüfungen (Checks) die Info-Zeile „Glatte Interpolation in Spannweitenrichtung baut senkrechte Schnittebenen; Schnittebenen auf Gehrung brauchen „Linear“ oder „Gerade Felder“.“
• Feldwinkel: Ein Schnitt kann den Winkel des Feldes zum nächsten Schnitt speichern (Spalte Feldwinkel (Panel angle) der Registerkarte Schnitte, sichtbar mit Auf Gehrung und Linear oder Gerade Felder; panelAngle in der Projektdatei, Grad, innerhalb von ±89,9999°). Die Ebenen verwenden ihn als δ dieses Feldes, für die Neigungen und für die Dickenstreckung. Leer: δ aus den Schnittpositionen; das Feld zeigt ihn als „auto …“. Der Randschnitt hat kein Feld. Der XFLR5-Import speichert die V-Formen von XFLR5 (unten).
• Die Ebenen folgen den Schnittpositionen. Ein in z verschobener Schnitt ändert die Neigung seiner Ebene und der Ebenen seiner Nachbarn. Ein gespeicherter Feldwinkel bleibt, wenn ein Schnitt verschoben wird. Ein in der Mitte eines Feldes eingefügter Schnitt übernimmt den Feldwinkel, den das Feld speichert.
• Kurze Felder: Ein Feld, das in y weniger als 1 mm breit ist (SHORT_PANEL in src/geom/planes.js), gilt als kein Feld. Die Schnitte an seinen Enden teilen sich eine Ebene: die winkelhalbierende Ebene der Felder um es herum; vor dem ersten Feld die senkrechte Ebene, nach dem letzten Feld die Ebene rechtwinklig zu ihm. Ihre Dickenstreckung bezieht sich auf diese Felder. XFLR5 überspringt Felder, die entlang der Spannweite kürzer als 0,1 mm sind, auf dieselbe Weise. Derzeitige Einschränkung: Ein Feld von 0,1 mm bis 1 mm Länge in einer XFLR5-Datei ist in XFLR5 ein Feld, in Wingdesigner keines; seine beiden Schnitte liegen in einer Ebene.
• Grenzen: Dickenstreckung höchstens 2 und keine Faltung zwischen benachbarten Ebenen (Abschnitt 3.6).
• Projektdateien des Formats Version 1 enthalten keine Einstellung der Schnittebenen und öffnen mit Senkrecht (Dateiformate).

Schnitte aus einem XFLR5-Import. XFLR5 ist ein Programm zur Analyse von Profilen und Flügeln. Der Import setzt Drehpunkt der Schränkung (Anteil der Profiltiefe) (f_pivot) auf 0,25, den Punkt, um den XFLR5 einen Schnitt schränkt, Interpolation in Spannweitenrichtung auf Gerade Felder, die Bauweise der Felder von XFLR5 (Abschnitt 3.1), und Schnittebenen auf Auf Gehrung, die Ebenen von XFLR5. Ein Teil, dessen Gehrungsebenen sich falten würden, wird mit Schnittebenen Senkrecht importiert. Der Einstellwinkel des Flügels im XFLR5-Flugzeug wird zum Einstellwinkel des Teils um den Ursprung des Flügels (Abschnitt 3.9). Außerdem wendet er eine Regel der Profillage an. XFLR5 zeichnet die Koordinaten eines Profils, wie sie sind; der Aufbau legt die Profilnase der Kurve (Abschnitt 1.3) auf den Schnittursprung und skaliert das Profil auf die Profiltiefe 1 (Abschnitt 2). Sind die Koordinaten bekannt, die XFLR5 verwendet hat (ein Profil der .xfl-Datei, eine hochgeladene .dat-Datei, ein NACA-Schnitt), verschiebt und skaliert der Import den Schnitt um den Unterschied, sodass das Profil dort liegt, wo XFLR5 es zeichnet. Jeder Unterschied wird angewendet; der Bericht nennt die über 0,1 % der Profiltiefe. Die Verschiebung dreht ein Feld, dessen beide Schnitte sich verschieden verschieben (zwei Profile oder ein Profil mit zwei Schränkungen). Ein solcher Schnitt speichert die V-Form von XFLR5 als seinen Feldwinkel, wenn sie um mehr als 0,001° von der V-Form der verschobenen Schnitte abweicht; so bleiben die Ebenen und Dickenstreckungen die von XFLR5. Schnitte mit einem Bibliotheksprofil oder einem anderen Profil des aktuellen Projekts behalten die Werte der Datei. Wie der Import die Schnitte, den Drehpunkt und die Interpolation setzt, mit Regeln und Formeln: Dateiformate, Abschnitt XFLR5-Import, Unterabschnitt Abbildung auf Schnitte.

3.9 Starre Lage des Teils

Einstellungen > Einstellwinkel des Teils (°, positiv = Nasenleiste hoch) (Part tilt; t, settings.partTilt) und Rollwinkel des Teils (°, positiv = rechter Randbogen hoch) (Part roll; r, settings.partRoll) drehen den ganzen Halbflügel als starren Körper (src/geom/part.js). Beide liegen innerhalb von ±180°, Vorgabe 0°. Die Abschnitte 3.1 bis 3.8, die Fläche aus Abschnitt 4 und die Prüfungen beim Aufbau arbeiten im Koordinatensystem des Teils; die Transformation T wirkt auf die angepasste Fläche.

Drehpunkt P = (P_x, P_y, P_z): settings.partPivot, wenn gespeichert (der XFLR5-Import speichert den Ursprung des Flügels mit P_y = 0), sonst die Nasenleiste (x, y, z) des Wurzelschnitts. Einstellungen nennt ihn unter den beiden Feldern.

erst der Rollwinkel r um die x-Achse durch P:
  x1 = x − P_x
  y1 = (y − P_y) cos r − (z − P_z) sin r
  z1 = (y − P_y) sin r + (z − P_z) cos r
dann der Einstellwinkel t um die y-Achse durch P:
  X = x1 cos t + z1 sin t + P_x
  Y = y1 + P_y
  Z = −x1 sin t + z1 cos t + P_z

T(p) = M (p − P) + P      M = | cos t    sin t sin r    sin t cos r |
                              | 0        cos r          −sin r      |
                              | −sin t   cos t sin r    cos t cos r |

• Vorzeichen: Ein positiver Einstellwinkel hebt die Nasenleiste (ein Punkt vor dem Drehpunkt, x < P_x, wandert nach oben); ein positiver Rollwinkel hebt den rechten Randbogen (ein Punkt außerhalb des Drehpunkts, y > P_y, wandert nach oben).
• Richtungen (Normalen von Ebenen, die Bezugsrichtung x einer Abschlussfläche) drehen sich nur mit M.
• Linke Hälfte: das Spiegelbild der gedrehten rechten Hälfte an der Ebene y = 0. Eine gerollte Wurzel liegt nicht in dieser Ebene, daher fügen die Dreiecksnetze die Hälften nicht zusammen (Abschnitt 5).
• Ausdehnung: Nach der Anpassung muss jeder mit T gedrehte Kontrollpunkt in x, y und z innerhalb von ±1 200 000 mm liegen (LIMITS.maxExtent); die Fläche liegt in der konvexen Hülle ihrer Kontrollpunkte. Sonst bricht der Aufbau ab mit: Das gedrehte Teil reicht bis x = … mm, y = … mm, z = … mm, außerhalb von ±1.200.000 mm; Einstellwinkel oder Rollwinkel des Teils verkleinern oder das Teil näher an seinen Drehpunkt legen.
• Gedreht: die 3D-Ansicht (partMatrix in src/ui/viewer3d.js), die Dreiecksnetze für STL und 3MF (Abschnitt 5), die STEP-Volumenkörper (Abschnitt 6) und die Positionen der Kennwerte (Abschnitt 7). Im Koordinatensystem des Teils: die Tabelle der Registerkarte Schnitte, die Registerkarte Grundriss, die Projektdatei und die Schaumkerne (Abschnitt 8).
• Eine Drehung um y erhält Ebenen y = konst. Mit Schnittebenen Senkrecht baut ein in die Schnittwerte eingerechneter Einstellwinkel (jeder Drehpunkt der Schränkung um P gedreht, t zu jeder Schränkung addiert) dasselbe Teil wie der starre Einstellwinkel: innerhalb von 1e-6 mm in den Unit-Tests der Aktualisierung von Dateien der Version 2 (Dateiformate, Abschnitt Projekt-JSON). Mit Ebenen Auf Gehrung dreht nur der starre Einstellwinkel die Ebenen mit dem Teil, wie XFLR5.

4. Fläche

Tensorprodukt-B-Spline-Fläche S(u, v) durch das Stationsgitter Q (2N + 1 Punkte je Station).

Richtung	Parameter	Grad	Knotenvektor
u (um das Profil)	Mittel der Parametrisierungen aller Stationen; u_0 = 0, u_2N = 1	3	geklemmt, durch Mittelwertbildung
v (Spannweite), Linear, Gerade Felder	v = (y − y_root) / (y_tip − y_root)	1, wenn kein Feld Zwischenstationen hat; sonst die kleinste Zahl von Stationsintervallen eines Feldes mit Zwischenstationen, höchstens 3 (min(3, K); 2 oder 1, wenn die Grenze des Flächengitters K senkt, Abschnitt 3.2)	eine Interpolation je Feld; ein Feld aus 2 Stationen ist die gerade Strecke zwischen ihnen, auf diesen Grad erhöht; Felder an den Schnitten mit innerer Knotenvielfachheit p verbunden (C0: stetig in der Lage, Knicke an den Schnitten)
v (Spannweite), Glatt (Smooth)	ebenso	3 (Stationen − 1 bei weniger als 4 Stationen)	eine Interpolation über alle Stationen, Mittelwertbildung (C2: stetig bis zur zweiten Ableitung)

Ablauf:

1. Jede Stationszeile entlang u interpolieren (eine Band-LU-Zerlegung gilt für alle Zeilen).
2. Jede Spalte der erhaltenen Kontrollpunkte entlang v interpolieren (Band-LU, Abschnitt 1.2).
3. y der Kontrollpunkte bei v = 0 auf y_root setzen und die Kontrollpunkte bei v = 1 auf die Randebene projizieren (y = y_tip bei φ = 0). Das entfernt Rundungsfehler des Lösers: Die Zeilen an Wurzel und Rand liegen in ihren Ebenen (13 STEP-Fälle: innerhalb von 3e-13 mm, Abschnitt 6).

Eigenschaften:

• S verläuft durch jeden Stationspunkt: S(u_j, v_k) = Q_(j,k).
• Die Isokurve u = u_LE verläuft durch die Profilnase jeder Station.
• Kontrollpunkte je Halbflügel: (2N + 1) × Stationen.
• Die Flächenzeilen an jedem Schnitt, in der Mitte zwischen benachbarten Schnitten und in der Mitte zwischen den Stationen der 64 breitesten Stationsintervalle werden auf Selbstüberschneidung geprüft (Abschnitt 1.4).

Entwurfstyp Pfeilnurflügel (Swept flying wing) mit 3 Schnitten, 2 zusätzlichen Stationen, Linear und ohne Leitkurve, angezeigt mit Einstellungen (Settings) > NURBS-Kontrollnetz zeigen (Show NURBS control net). Die 121 Netzlinien entlang der Spannweite liegen in diesem Maßstab so dicht, dass sie als Schattierung erscheinen.

Entwurfstyp des Assistenten (N = 60, K = 8)	Stationen	Kontrollpunkte je Halbflügel	Grad u × v
Sportmodell (Sport) (1,5° V-Form, Auf Gehrung)	9	121 × 9	3 × 3
Pfeilnurflügel (keine V-Form)	5 (2 zusätzlich, Abschnitt 3.2)	121 × 5	3 × 1
Segelflugmodell (Glider); elliptische Leitkurven, Flügelende (Tip) = Flach (Flat)	17	121 × 17	3 × 3
Segelflugmodell; elliptische Leitkurven, Flügelende = Spitz (Maßstab 1/200) (Pointed (1/200 scale))	22 (5 zusätzlich, Abschnitt 3.2; größte Abweichung 0,263 mm, keine Warnung)	121 × 22	3 × 3

5. Dreiecksnetze

Dreiecksnetze für den Export als STL (Stereolithografie) und 3MF (3D Manufacturing Format) und für die 3D-Ansicht.

Richtung	Abtastung
u	Stationsparameter u_j; jedes Intervall in d Teile geteilt
v	Stationsparameter v_k; jedes Intervall in r · d Teile geteilt; r = 1 (Grad 1 entlang v), r = 3 (Grad 2 oder 3)

d = Wert von Netzdichte (STL, 3MF) (Mesh density (STL, 3MF)): 1 bei Normal, 2 bei Fein (4-fache Dreiecksanzahl) (Fine (4x triangles)). Die 3D-Ansicht tastet mit d = 1 ab. Die Anzahlen unten gelten für die Exportnetze.

Anzahlen je Halbflügel (n_u = 2N · d, V = Anzahl der Abtastwerte in v):

Größe	Offene Endleiste	Geschlossene Endleiste
Eckpunkte je Abtastwert in v	n_u + 1	n_u (Endleistenpunkt gemeinsam)
Dreiecke der Fläche	2 n_u (V − 1)	2 n_u (V − 1)
Dreiecke des Endleistenstreifens	2 (V − 1)	0
Dreiecke je Abschlussfläche (Wurzel, Rand)	n_u − 1	n_u − 2

Beispiel: Entwurfstyp Sportmodell (Sport), N = 60, d = 1, offene Endleiste: Schnittebenen Auf Gehrung (9 Stationen, Grad 3 entlang v, V = 25): 3025 Eckpunkte, 6046 Dreiecke je Halbflügel; Senkrecht (2 Stationen, Grad 1, V = 2): 242 Eckpunkte, 480 Dreiecke.

• Orientierung: Jedes Dreieck zeigt nach außen (Normale S_v × S_u).
• Abschlussflächen: Die Konturen an Wurzel und Rand werden in der Ebene ihres Schnitts trianguliert (x und die Aufwärtsrichtung seiner Neigung φ; die x-z-Ebene bei φ = 0). Oberer Punkt k bildet ein Paar mit unterem Punkt k (dieselbe Tiefenstation): 2 Dreiecke je Stationsintervall, lineare Laufzeit.
• Andere Diagonale: Läuft ein Dreieck eines Vierecks nicht gegen den Uhrzeigersinn, verwendet das Viereck seine andere Diagonale (verfeinerte Tiefenstationen bilden keine genauen Paare). Mit nur einer Diagonale fällt eine Abschlussfläche bei Fein (Fine) mit geschlossener Endleiste (NACA 4415, 200 Tiefenstationen je Profilseite) auf Ear Clipping zurück: 2,2 s.
• Rückfall für Abschlussflächen: Ear Clipping (Abschneiden von Ohren). Er greift, wenn ein Viereck mit keiner der beiden Diagonalen nur Dreiecke gegen den Uhrzeigersinn ergibt. Er greift auch, wenn die Dreiecksflächen um mehr als 1e-9 (relativ) von der Konturfläche abweichen. Beide Flächen werden relativ zu einem Eckpunkt der Kontur summiert, sodass ein Flügel 1 000 000 mm vom Ursprung entfernt die Streifen behält.
• Lage des Teils (Abschnitt 3.9): Die Eckpunkte des Halbflügels werden vor der Spiegelung mit T gedreht.
• Linker Halbflügel: y → −y, Umlaufsinn der Dreiecke umgekehrt.

Flügelhälften (Wing halves)	Hüllen
Beide Hälften als getrennte Körper (Both halves as separate bodies)	2 geschlossene Hüllen, Abschlussflächen an der Wurzel enthalten
Ganzer Flügel als ein Körper (Netzformate, Wurzel bei y = 0) (Full wing as one body (mesh formats, root at y = 0))	Wurzel bei genau y = 0 mm und Rollwinkel des Teils 0°: 1 geschlossene Hülle, die Hälften teilen die Wurzelpunkte, keine Abschlussflächen an der Wurzel; sonst 2 Hüllen
Nur rechte Hälfte (Right half only)	1 geschlossene Hülle

6. STEP-Topologie

Datei im Format STEP nach ISO 10303 (ISO: International Organization for Standardization), Schema AP214 (Application Protocol 214). Jeder Halbflügel ist ein MANIFOLD_SOLID_BREP (Volumenkörper in Randdarstellung, boundary representation) mit einer CLOSED_SHELL. Namen der Volumenkörper: <name> right, <name> left. Kopfdaten, Einheiten und Toleranz: Dateiformate.

Flügelhälften (Wing halves)	Volumenkörper
Nur rechte Hälfte (Right half only)	1
beide anderen Optionen	2 (im STEP-Export werden die Hälften nie zusammengefügt)

Lage des Teils (Abschnitt 3.9): Jeder Punkt (Kontrollpunkte von Flächen und Kurven, Eckpunkte, die Ursprünge der Ebenen der Abschlussflächen) wird mit T gedreht, jede Richtung (Normalen der Abschlussflächen und Bezugsrichtungen) mit M; danach wird die linke Hälfte gespiegelt, danach dreht die Fusion-360-Korrektur die Achsen. Lage und Drehung sind Rotationen und erhalten die Orientierungsflags. Die Tabellen unten geben die Normalen im Koordinatensystem des Teils an.

Teilung: Die Fläche wird bei u_LE durch Knoteneinfügen (A5.1) bis zur Vielfachheit 3 in jeder v-Spalte geteilt. Ein Teilungsparameter näher als 1e-10 an einem vorhandenen Knoten wird auf diesen Knoten gesetzt. Beide Teile erhalten auf [0, 1] normierte Knotenvektoren.

Teil	u = 0	u = 1
Oberseite	obere Endleiste	Profilnase
Unterseite	Profilnase	untere Endleiste

Flächen (Topologie) des rechten Halbflügels; (+) = Kante in eigener Richtung, (−) = umgekehrt:

Fläche	Geometrie	Kantenschleife
Oberseite	B_SPLINE_SURFACE_WITH_KNOTS, Grad 3 × Grad entlang v	obere Endleiste (+), Rand oben (+), Nasenleiste (−), Wurzel oben (−)
Unterseite	B_SPLINE_SURFACE_WITH_KNOTS, Grad 3 × Grad entlang v	Nasenleiste (+), Rand unten (+), untere Endleiste (−), Wurzel unten (−)
Endleiste (nur offene Endleiste)	B-Spline-Regelfläche, Grad 1 in u (Knotenvektor (0, 0, 1, 1)) zwischen der unteren und der oberen Endleisten-Kontrollpunktzeile	untere Endleiste (+), Randlinie (+), obere Endleiste (−), Wurzellinie (−)
Abschlussfläche Wurzel	PLANE, Normale −y (die Wurzelebene ist immer senkrecht), Ursprung an der Profilnase der Wurzel	Wurzel oben (+), Wurzel unten (+), Wurzellinie (+, nur offene Endleiste)
Abschlussfläche Rand	PLANE, Normale (0, cos φ_tip, sin φ_tip) (+y bei senkrechtem Rand), Ursprung an der Profilnase am Rand	Rand unten (−), Rand oben (−), Randlinie (−, nur offene Endleiste)

Endleiste	Flächen	Kanten	Knoten (Topologie)
Geschlossen	4	6	4
Offen	5	9	6

• Geschlossene Endleiste: Obere und untere Endleiste sind eine Kante mit 2 gemeinsamen Knoten (Topologie).
• Kanten einer B-Spline-Fläche: die exakte Rand-Isokurve dieser Fläche (erste oder letzte Kontrollpunktzeile oder -spalte).
• Typ der Kantenkurven: B_SPLINE_CURVE_WITH_KNOTS. Wurzellinie und Randlinie haben den Grad 1.

Orientierungsflags:

Flag	Rechter Halbflügel	Linker Halbflügel (gespiegelt)
same_sense der B-Spline-Flächen	.F. (S_u × S_v zeigt nach innen)	.T.
same_sense der ebenen Flächen	.T.	.T.
Orientierung von FACE_OUTER_BOUND	.T.	.F. (jede Schleife umgekehrt)
Normale der Ebene	Wurzel −y, Rand (0, cos φ_tip, sin φ_tip)	als Vektoren gespiegelt: Wurzel +y, Rand (0, −cos φ_tip, sin φ_tip) (nach außen)

Prüfung: scripts/validate_step.py liest die von scripts/export-step-cases.mjs geschriebenen Dateien mit OpenCascade. Fälle: die 13 Fälle aus test/step-cases.js, 5 davon mit Schnittebenen Auf Gehrung (ein 35°-V-Leitwerk mit Gerade Felder, einmal ohne und einmal mit Fusion-360-Korrektur (Y nach oben) geschrieben, ein Möwenflügel mit 15°/−5° mit Linear, ein Profilwechsel mit Gerade Felder: zwei Schnitte 0,5 mm auseinander in y in einer Ebene zwischen Feldern mit 0° und 10°, das äußere Feld mit einem gespeicherten Feldwinkel von 10,5°, und part-tilt-roll: der Möwenflügel mit Einstellwinkel des Teils 8° und Rollwinkel des Teils 12° um den Drehpunkt (50, 0, −20) mm). Bei part-tilt-roll sind beide Volumenkörper gültig und geschlossen, das Volumen liegt innerhalb von 3,2e-5 des Netzvolumens und die Kanten der Abschlussflächen innerhalb von 1,9e-13 mm von ihren Ebenen.

Fusion-360-Korrektur des Exports (Dateiformate, Abschnitt „Körper je Datei“): Jeder Punkt und jede Richtung des Teils wird als (x, z, −y) geschrieben. Die Drehung ist eine Rotation, daher bleiben die Orientierungsflags.

Bestehenskriterien je Datei:

• Lesestatus IFSelect_RetDone
• Anzahl der Volumenkörper = erwartete Anzahl: 2; root-offset-half (Nur rechte Hälfte): 1
• je Volumenkörper: BRepCheck_Analyzer meldet ihn gültig
• je Volumenkörper: Hülle geschlossen (keine freien Kanten, keine fehlerhafte Orientierung)
• je Volumenkörper: Volumen > 0
• je Volumenkörper: Abweichung zum Netzvolumen ≤ 5e-4 (relativ) bei Verfeinerung u × 4 und v × 8
• je Volumenkörper: Jede Kante einer ebenen Fläche (der Abschlussflächen) liegt innerhalb von 1e-6 mm in ihrer Ebene, abgetastet an 51 Punkten je Kante. Eine senkrecht geschriebene Randfläche am Möwenflügel mit 15°/−5° liegt 0,67 mm neben ihren Kanten und ändert das Volumen nur um 0,0475 %, unter der Volumentoleranz.

7. Grundrisskennwerte

MAC: mittlere aerodynamische Flügeltiefe (mean aerodynamic chord). Die Integrale verwenden den vorgesehenen Grundriss: x_LE(y) und c(y) aus Abschnitt 3.4, einschließlich Leitkurven und Mindesttiefe eines spitzen Flügelendes (planformAt in src/geom/wing.js). Quadratur: 5-Punkt-Gauß- Legendre, exakt für Polynome bis Grad 9, auf jedem Intervall [y_a, y_b] zwischen benachbarten Teilungspunkten. Teilungspunkte: Wurzel, Rand, die Schnitte und für jede eingeschaltete Leitkurve jeder Knoten und jeder Kontrollpunkt, auf die Spannweite des Flügels abgebildet (planformBreaks in src/geom/wing.js). Stationen sind keine Teilungspunkte: Der vorgesehene Grundriss knickt dort nicht, und die Teilung an 139 994 Stationen (20 000 Schnitte, Leitkurven mit 20 000 Punkten) dauerte 27 s. Ein Intervall wird halbiert, solange die beiden Hälften eines der 4 Integrale um mehr als 1e-10 seines Maßstabs ändern, höchstens 12-mal (REL_TOLERANCE, MAX_DEPTH in src/geom/stats.js).

S_half   = ∫ c dy
MAC      = ∫ c² dy     / S_half
y_MAC    = ∫ c y dy    / S_half
x_LE,MAC = ∫ c x_LE dy / S_half
x_25     = x_LE,MAC + 0.25 · MAC
b        = 2 · y_tip           (Koordinatensystem des Teils; gedrehtes Teil: unten)
S        = 2 · S_half
AR       = b² / S

∫ f dy   ≈ Σ_intervals (Δy / 2) Σ_i w_i f(y_a + (1 + t_i) Δy / 2)
t_i      = 0, ±0.538469310105683, ±0.906179845938664
w_i      = 0.568888888888889, 0.478628670499366, 0.236926885056189

halbiere [a, b], solange |I_left + I_right − I_whole| > 1e-10 · max(s, 1) · (b − a) bei einem Integral,
                   höchstens 12-mal
s        = c_max, c_max², c_max · y_max, c_max · max(|x_LE| + c)   (je Integral, über die Stationen)

Ein gedrehtes Teil (Abschnitt 3.9) ergibt die Positionen in den Achsen des Flugzeugs: Die Profilnase der MAC und der Punkt bei 25 % MAC drehen sich mit dem Teil, in der Höhe z der Stationen. S, MAC, Wurzel- und Randtiefe und die Quadratur bleiben im Koordinatensystem des Teils.

z_MAC              = z bei y_MAC, linear zwischen benachbarten Stationen
y_MAC', x_LE,MAC'  = Y und X von T(x_LE,MAC, y_MAC, z_MAC)
x_25'              = X von T(x_LE,MAC + 0.25 · MAC, y_MAC, z_MAC)
b                  = 2 · Y von T(x_LE, y, z der Randstation)
AR                 = b² / S

• Mit einem Rollwinkel gilt b = 2 · |(y_tip − P_y) cos r − (z_tip − P_z) sin r + P_y|: Ein Rollwinkel, der den Rand hebt, verkürzt die Spannweite; über 90° liegt der rechte Rand bei y < 0, und die Ränder bleiben 2 |y| auseinander; z. B. 30° am Beispielflügel der Unit-Tests. Ein Einstellwinkel erhält b (Y = y ohne Rollwinkel).
• Lage der MAC zeigt y_MAC' und x_LE,MAC', 25 % MAC (geometrischer Bezugspunkt) zeigt x_25'.

Grundriss zwischen 2 benachbarten Teilungspunkten	Quadratur
Linear oder Glatt (Smooth), keine Leitkurve	exakt: c und x_LE haben in y höchstens Grad 3, die Integranden höchstens Grad 6
eine Leitkurve eingeschaltet, oder Profiltiefe im letzten Feld eines spitzen Flügelendes auf c_tip angehoben	nicht auf jedem Intervall exakt: x(y) einer Leitkurve im Modus Kontrollpunkte (Control points) ist kein Polynom, die Mindesttiefe erzeugt einen Knick; die Halbierung verfeinert diese Intervalle

Quadraturfehler gegenüber der Mittelpunktregel mit 200 000 Intervallen (Abweichungen dieser Größe liegen innerhalb des Fehlers der Mittelpunktregel selbst):

Fall	S	MAC	y_MAC	x_LE,MAC
Segelflugmodell (Glider), Flügelende (Tip) = Flach (Flat)	−2,2e-10 %	−6,7e-12 %	−4,2e-10 %	3,2e-12 mm
Segelflugmodell, Flügelende = Spitz (Maßstab 1/200) (Pointed (1/200 scale))	−2,1e-9 %	2,0e-9 %	−3,1e-9 %	−8,6e-10 mm
andere Grundrisse mit Leitkurven	nicht gemessen	nicht gemessen	nicht gemessen	nicht gemessen

• b: Spannweite, S: Flügelfläche, AR (aspect ratio): Streckung. b, S und AR gelten für beide Halbflügel.
• MAC, y_MAC und x_LE,MAC beziehen sich auf einen Halbflügel.
• Mit y_root > 0 enthält b die Lücke 2 · y_root in der Mitte, S nicht.
• Gespiegelte Hälfte zeigen (y < 0) (Show mirrored half (y < 0)) ändert nur die Darstellung, nicht die Kennwerte.
• x_25 ist ein geometrischer Bezugspunkt, keine Berechnung von Neutralpunkt oder Schwerpunkt.
• Ein Aufbauergebnis ohne planformAt fällt auf die Trapezregel über die Stationen zurück; buildWing setzt planformAt immer.

Zeile in Prüfungen (Checks)	Wert	Einheit, Nachkommastellen
Spannweite (Span)	b	mm, 1
Flügelfläche (Wing area)	S	dm², 2
Streckung (Aspect ratio)	AR	–, 2
Mittlere aerodynamische Flügeltiefe (MAC) (Mean aerodynamic chord (MAC))	MAC	mm, 1
Lage der MAC (MAC position)	y_MAC, x_LE,MAC	mm, 1
25 % MAC (geometrischer Bezugspunkt) (25 % MAC (geometric reference))	x_25	mm, 1
Wurzel- / Randtiefe (Root / tip chord)	c der ersten und der letzten Station	mm, 1
NURBS-Fläche (Surface)	Grad u × Grad v; Kontrollpunkte (2N + 1) × Stationen	–
Endleiste (Trailing edge)	„geschlossen“ oder „offen“ (Abschnitt 3.7)	–

Beispiel: Entwurfstyp Segelflugmodell (Flügelende = Flach, N = 60, K = 8): Spannweite 2.000,0 mm, Flügelfläche 33,73 dm², Streckung 11,86, Mittlere aerodynamische Flügeltiefe (MAC) 174,2 mm, Lage der MAC y 450,6 mm, Profilnase x 6,5 mm, 25 % MAC (geometrischer Bezugspunkt) x 50,0 mm, Wurzel- / Randtiefe 200,0 / 90,0 mm, NURBS-Fläche Grad 3 x 3, 121 x 17 Kontrollpunkte, Endleiste offen.

8. Schaumkerne

Der Schaumschnitt-Assistent (Benutzerhandbuch, Abschnitt Schaumschnitt) teilt den Halbflügel in Segmente. Jedes Segment ist ein Schaumkern. Ein Heißdraht schneidet ihn als Regelfläche: gerade Linien zwischen zwei Endprofilen. Code: src/geom/foam.js. Die Kerne liegen im Koordinatensystem des Teils: Einstellwinkel des Teils und Rollwinkel des Teils (Abschnitt 3.9) ändern sie nicht.

8.1 Schnitte

Ein Schnitt ist eine Spannweitenposition y in mm. Wurzel und Rand sind die Enden; die Schnitte liegen dazwischen. Ein Schnitt in diesem Abschnitt trennt zwei Kerne; die Schnitte des Projekts heißen hier Profilschnitte.

Regel	Wert
Vorschlag	Ein Schnitt an jedem Profilschnitt zwischen Wurzel und Rand. Jedes Stück dazwischen wird in n = min(ceil(L / L_max), floor(Δy / 5 mm)) Teile gleicher Länge entlang der Bezugslinie geteilt; eine gekrümmte Linie (Glatt) ergibt dort, wo sie steiler ist, kürzere Teile in y. L: Länge der Bezugslinie des Stücks; Δy: ihre Ausdehnung in y; L_max: Längster Kern (Longest core). Die zweite Schranke hält die Teile auf einem geraden Feld mindestens 5 mm in y auseinander; auf einer gekrümmten Linie entfällt ein Schnitt, der in y näher als 5 mm am vorigen liegt. Innerhalb von 200 Segmenten bleiben die Schnitte an den Profilschnitten; verlangen die Stücke mehr Schnitte als übrig sind, erhält jedes seinen Anteil im Verhältnis der verlangten Schnitte (größte Reste zuerst, dann innen)
Bezugslinie	(y, z) der Stationen, linear dazwischen. Ihre Länge berücksichtigt die V-Form: 600 mm in y bei 1,5° sind 600,2 mm
Kürzestes Segment	5 mm in y. Ein Schnitt, der näher als 5 mm am vorigen Schnitt, an der Wurzel oder am Rand liegt, entfällt
Profilschnitte näher als 5 mm	Ein Schnitt, am ersten von ihnen
Segmente	höchstens 200 je Halbflügel; weitere Schnitte entfallen

8.2 Bezugssystem eines Segments

z_ref(y)  = z der Stationen, linear in y dazwischen
α         = atan2(z_ref(y_b) − z_ref(y_a), y_b − y_a)       Achswinkel des Segments (°)
a         = (0, cos α, sin α)                               Achsrichtung
up        = (0, −sin α, cos α)                              Aufwärtsrichtung der Endflächen

y_a und y_b sind der innere und der äußere Schnitt. Ohne V-Form ist α = 0, a = (0, 1, 0) und up = (0, 0, 1).

8.3 Stoßebenen und Endflächen

Die Stoßebene an einem Schnitt ist die Ebene, in der zwei Kerne aneinanderstoßen oder ein Kern an Wurzel oder Rand endet:

Schnitt	Stoßebene
Wurzel, Rand, ein Profilschnitt	die Schnittebene der Station dort (Abschnitt 3.8): senkrecht oder um φ um x geneigt
Zwischen zwei Profilschnitten	die winkelhalbierende Ebene der beiden Segmentachsen: rechtwinklig zu beiden, wenn α auf beiden Seiten gleich ist

n         = (0, cos φ, sin φ)                    Normale einer Schnittebene
n         = (a_k + a_(k+1)) / |a_k + a_(k+1)|    Winkelhalbierende der Segmente k und k + 1
q(u)      = Punkt der Flügelfläche in der Stoßebene, für jedes u der Fläche
d_in      = min über u von q_in(u) · a            innere Endfläche  {p : p · a = d_in}
d_out     = max über u von q_out(u) · a           äußere Endfläche  {p : p · a = d_out}
L_core    = d_out − d_in                          Kernlänge entlang der Achse

• Die Endflächen stehen rechtwinklig zur Achse und sind parallel: die Flächen eines Blocks, wie ihn ein Heißdrahtschneider schneidet.
• Jede Endfläche liegt dort, wo der kürzeste Kern endet, der das Stoßprofil q abdeckt. Der Kern ist dann mindestens so lang wie das Flügelsegment, und Schleifen bringt seine Endfläche auf die Stoßebene.
• Punkte des Flügels jenseits des Segmentendes stammen aus der Segmentfläche, gerade entlang ihrer Endtangente in v fortgesetzt. Ein Kern übernimmt über einen Knick der V-Form hinweg nicht die Form seines Nachbarn.

Keil zwischen Endfläche und Stoßebene:

Winkel    = acos |n · a|                                     (°); kein Keil unter 0.001°
Tiefe     = max über u von q(u) · a − min über u von q(u) · a   (mm, entlang der Achse)
Seite     = Oberseite oder Unterseite: wo q am weitesten von der Endfläche entfernt liegt

Flügel	Stoßstelle	Keil
Gerades Feld mit 10° V-Form, Schnittebenen Auf Gehrung (Mitred)	Wurzel (senkrechte Ebene)	10°, h · tan 10° tief an der Oberseite (h: Höhe des Profils bei seiner Profiltiefe, rechtwinklig zum Feld: 24,31 mm bei 200 mm Profiltiefe des NACA 2412 ergeben 4,29 mm)
ebenso	Rand (rechtwinklig zum Feld)	keiner
ebenso, in der Mitte geschnitten	Winkelhalbierende gleicher Achsen	keiner
Möwenflügel: Felder mit 15° und −5°, Auf Gehrung	der Profilschnitt am Knick (winkelhalbierende Ebene)	10° an der Unterseite, an beiden Kernen
Beispielflügel (Ebenen Senkrecht (Vertical), Felder mit 1,91° und 3,81°)	der Profilschnitt bei y = 300 mm (senkrecht)	1,91° an der Unterseite (innerer Kern), 3,81° an der Oberseite (äußerer Kern)

8.4 Endprofile

P(u)       = Punkt der Segmentfläche in der Endfläche {p : p · a = d}, für jedes u der Fläche
x          = P_x − x_0
h          = P · up − h_0
(x_0, h_0) = kleinstes x und kleinstes P · up über beide Endprofile des Segments

• u durchläuft die Flächenparameter des Aufbaus (2N + 1 Werte, 121 bei N = 60): obere Endleiste, Profilnase, untere Endleiste.
• Punkt i des inneren und Punkt i des äußeren Profils liegen auf einer Geraden der Regelfläche des Kerns. Ein Schneideprogramm, das beide Drahtenden von Punkt zu Punkt mit gleichem Index führt, schneidet den Kern als Regelfläche.
• Der Ursprung (x, h) = (0, 0) ist die vordere untere Ecke des kleinsten Blocks, der beide Profile enthält.
• Je Endprofil: LE = Punkt bei u_LE; TE = Mitte zwischen erstem und letztem Punkt; Profiltiefe = |TE − LE|; Anstellwinkel = atan2(h_LE − h_TE, x_TE − x_LE), positiv Nase hoch.
• Nullstellensuche je u: Die Spaltenkurve C_u(v) = Σ N_i(u) P_ij ist eine B-Spline-Kurve in v; Regula falsi mit Bisektionsschritten (solveMonotonic) auf 1e-10 mm in p · a. Außerhalb von [v_a, v_b] liefert die fortgesetzte Gerade den Punkt in einem Schritt.

Ein gerades Feld aus einem Profil bei 10° V-Form:

Schnittebenen	Dicke des Endprofils
Auf Gehrung	das Profil bei seiner Profiltiefe: Die Wurzel ist um 1/cos 10° gestreckt und der Rand steht rechtwinklig zum Feld, daher ist jeder Schnitt rechtwinklig zum Feld das Profil
Senkrecht	cos 10° = 0,985 des Profils: Quer zum Feld hat der Flügel cos δ der Dicke (Abschnitt 3.8)

8.5 Abweichung

Der Kern als Regelfläche wird in Ebenen parallel zu den Endflächen mit dem Flügel verglichen: in 7 Ebenen bei s = 1/8 … 7/8 der Kernlänge und in je einer Ebene durch jede Station des Lofts innerhalb des Segments, wo eine Leitkurve oder Glatt den Flügel zwischen den 7 Ebenen biegen kann. Jede Station liegt in einem Segment, daher begrenzt die Grenze von 5 000 000 Gitterpunkten des Lofts auch die Ebenen. Die nächste Kante von W_s zu R_s(u) wird vom selben Index u aus gesucht, in einem Fenster, das sich verdoppelt, solange die nächste Kante an seinem Rand liegt.

d_s        = d_in + s · (d_out − d_in)
R_s(u)     = (1 − s) · A(u) + s · B(u)       Kern als Regelfläche: A, B inneres und äußeres Endprofil
W_s        = geschlossenes Polygon der Segmentfläche in der Ebene p · a = d_s, an jedem u
Abweichung = max über s und u des Abstands von R_s(u) zu W_s     (mm)

Flügel	Abweichung
Gerade Felder (Gerade Felder (Straight panels) oder Linear mit Stationen nur an den Profilschnitten)	0 bis auf Rundungsfehler (unter 1e-9 mm bei den getesteten Flügeln)
Entwurfstyp Sportmodell (Sport): Profiltiefe 240 bis 144 mm, NACA 2412 bis 2410, Schränkung 0 bis −1°, Linear, Auf Gehrung: 1 Kern, y = 0 bis 600 mm	0,341 mm
ebenso, 2 Kerne, y = 0 bis 300 und 300 bis 600 mm	0,085 mm
Entwurfstyp Segelflugmodell (Glider) (elliptisch, Leitkurven): 2 Kerne, y = 0 bis 500 und 500 bis 1000 mm	1,348 und 2,489 mm
ebenso, auf 0,2 mm geteilt	10 Kerne, höchstens 0,156 mm

• Ein Feld mit Linear zwischen Schnittebenen Auf Gehrung verschiedener Neigung (mit V-Form mindestens das Wurzelfeld) erhält Stationen zwischen seinen Profilschnitten (Abschnitt 3.2). Seine Fläche folgt dann c(y) · Profil(y): Beide Faktoren sind linear in y, ihr Produkt nicht. Der Kern als Regelfläche verfehlt sie beim Sportmodell ohne Schränkung um bis zu 0,25 mm. Hat die Fläche Stationen nur an den Profilschnitten, ergeben Zuspitzung und Schränkung keine Abweichung: Das Sportmodell mit Ebenen Senkrecht weicht 0 mm ab.
• Die Abweichung fällt mit dem Quadrat der Segmentlänge: Ein halbierter Kern weicht etwa 1/4 so weit ab.
• Teilen (Segmente über der Grenze teilen (Split segments over the limit)): Jedes Segment von 10 mm oder mehr über der Grenze wird in der Mitte (in y) geteilt, und die ganze Menge wird neu berechnet; das wiederholt sich, bis kein solches Segment übrig ist oder 200 Segmente erreicht sind. Ein Segment unter 10 mm wird nicht geteilt.
• Zeit in Node.js 24 auf einem Server-Prozessor mit 2,1 GHz: 5 bis 19 ms für den Vorschlag der 6 Entwurfstypen mit geradem oder elliptischem Grundriss des Assistenten, etwa 1 s für 200 Segmente des Segelflugmodells.

9. Winglet

src/model/winglet.js fügt das Winglet als Schnitte an; der Loft behandelt sie wie jedes andere Feld. Eingang: der Randschnitt T (y_T, z_T, x_T, Tiefe c_T, Schränkung t_T), der Winkel a0 des letzten Feldes (sein gespeicherter Feldwinkel, sonst atan2(z_T − z_P, y_T − y_P) mit P dem Schnitt vor T) und die Parameter Höhe H, Neigung a1, Radius R, Pfeilung Λ, Anteil der Spitzentiefe k, Anstellung τ.

turn  = a1 − a0                          (Grad)
n     = ceil(|turn| / 15°)               Bogenschritte; 0 bei R = 0
L_arc = R · |turn| · π/180               muss kürzer als H sein
σ     = sign(turn)

Bogenschnitt j = 1 … n:   b_j = a0 + turn · j / n,   s_j = L_arc · j / n
  y_j = y_T + σ · R · (sin b_j − sin a0)
  z_j = z_T + σ · R · (cos a0 − cos b_j)

Wingletspitze:            s = H
  y = y_n + (H − L_arc) · cos a1,   z = z_n + (H − L_arc) · sin a1      (y_0 = y_T, z_0 = z_T)

bei Länge s:   x = x_T + s · tan Λ,   Tiefe = c_T + (k · c_T − c_T) · s / H,   Schränkung = t_T + τ · s / H

• Der Bogen berührt das letzte Feld in T tangential. Mit R = 0 knickt die Bezugslinie in T.
• Die Werte werden auf 0,01 mm und 0,01° gerundet. Ein Bogenschnitt, der in y weniger als 1 mm (SHORT_PANEL) vom Schnitt davor oder von der Wingletspitze entfernt liegt, entfällt.
• Die Neigung bleibt innerhalb ±89°: y ist der Spannweitenparameter des Lofts, jedes Feld muss in y fortschreiten. Ein Feld, das in y weniger als 1 mm reicht, wird abgelehnt.
• Die Schnittebenen sind die winkelhalbierenden Ebenen Auf Gehrung aus Abschnitt 3.8, senkrecht zur Bezugslinie. Mit Senkrechten Ebenen (y = konstant) wäre ein Feld mit der Neigung a quer zum Feld cos a so dick, 0,26-mal bei 75°; der Dialog verlangt Auf Gehrung.
• Leitkurven halten x und die Tiefe als Funktionen von y zwischen Wurzel und Rand; sie würden sich über das Winglet dehnen, deshalb verlangt der Dialog sie ausgeschaltet. Ein spitzes Flügelende (Abschnitt 3.5) würde das Profil der Wingletspitze verkleinern; der Dialog verlangt ein flaches Flügelende.
• Vorgabe des Radius 0,3 c_T: Bei engerem Radius faltet ein etwa 25 % dickes Profil die Fläche auf der Innenseite des Bogens. Geprüft: Der Flügel Sport mit Neigung −89°, −45°, 0°, 45°, 75°, 89° und Radius 0, 0,3 und 0,6 c_T baut ohne Fehler; jeder andere Entwurfstyp mit flachem Flügelende und ausgeschalteten Leitkurven baut mit dem Vorgabe-Winglet einen geschlossenen Flügel. Batwing endet spitz (Tiefe unter 1 mm bei flachem Flügelende) und wird abgelehnt.