ES Verosimilitud perfilada

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Intervalos de confianza por verosimilitud perfilada

Módulo: core/profile_likelihood.py
Integración GUI: panel de ajuste discreto → Errores → Perfil likelihood

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Motivación

Los errores 1σ por covarianza gaussiana (core/fit_engine.py, §Covarianza) asumen que la superficie de coste es cuadrática en torno al óptimo. Para parámetros con bordes activos, correlaciones fuertes o curvas de coste asimétricas, esa aproximación puede ser pesimista o incluso errónea. La verosimilitud perfilada da intervalos exactos (para el modelo y los pesos estadísticos dados) sin asumir cuadraticidad.

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Definición

Sea $\hat{\mathbf{x}}$ el vector de parámetros óptimo con coste $\mathcal{C}_{\min}$. La verosimilitud perfilada del parámetro $x_k$ es:

$$\mathcal{C}_P(x_k) = \min_{\mathbf{x}_{-k}} \mathcal{C}(\mathbf{x})$$

es decir, el mínimo del coste respecto a todos los demás parámetros, con $x_k$ fijado. La diferencia:

$$\Delta\chi^2(x_k) = 2\bigl[\mathcal{C}_P(x_k) - \mathcal{C}_{\min}\bigr]$$

sigue (asintóticamente) una distribución $\chi^2$ con 1 grado de libertad. Los intervalos de confianza se obtienen como los valores de $x_k$ donde:

$$\Delta\chi^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad 1\sigma ;;(\approx 68.3%)$$ $$\Delta\chi^2 = 4 \quad\Rightarrow\quad 2\sigma ;;(\approx 95.4%)$$

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Implementación en Fitbauer

Escaneo adaptativo

Para cada parámetro libre $x_k$, se barren valores en un intervalo centrado en $\hat{x}_k$ y se reajusta con el resto de parámetros libres en cada punto. El intervalo y el número de puntos de escaneo se ajustan automáticamente para asegurar que la curva $\Delta\chi^2$ alcance el nivel 4 (2σ) a ambos lados.

Localización de cruces (find_crossing)

Dado el array de valores escaneados $v_k$ y los $\Delta\chi^2$ correspondientes, se localiza el cruce con un nivel $\ell$ (1 o 4) por interpolación lineal:

$$x_\ell = x_i + \frac{(\ell - \Delta\chi^2_i)(\Delta\chi^2_{i+1} - \Delta\chi^2_i)^{-1}(x_{i+1} - x_i)}{1}$$

en el segmento donde $(\Delta\chi^2_i - \ell)(\Delta\chi^2_{i+1} - \ell) \leq 0$. Se busca el primer cruce a la derecha del óptimo (intervalo $+$) y el primero a la izquierda (intervalo $-$). Si la curva no llega al nivel en un lado, el cruce correspondiente se reporta como None (parámetro en borde o mal condicionado).

Intervalos asimétricos (asymmetric_intervals)

from core.profile_likelihood import asymmetric_intervals

result = asymmetric_intervals(scan_values, d_chi2, best_value)
# result: {"minus_1s": float|None, "plus_1s": float|None,
#           "minus_2s": float|None, "plus_2s": float|None}

Los valores devueltos son distancias positivas desde el óptimo al cruce: $x_k^+ - \hat{x}_k$ (a la derecha) y $\hat{x}_k - x_k^-$ (a la izquierda).

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Comparación con errores por covarianza

Aspecto	Covarianza (gaussiana)	Perfil likelihood
Supuesto	Coste cuadrático	Ninguno (asintótico)
Coste computacional	Bajo (SVD del Jacobiano final)	Alto (N_scan × reajuste por parámetro)
Válido con bordes activos	No (subestima error)	Sí
Correlaciones fuertes	Puede ser poco fiable	Capturado implícitamente
Asimetría del intervalo	No (simétrico)	Sí

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Cuándo usar el perfil likelihood

• Parámetros con bordes activos (p.ej. profundidad cerca de 0, BHF cerca del mínimo).
• Doblete con separación cuadrupolar pequeña (alta correlación δ–ΔEQ).
• Sextetes con intensidades libres correlacionadas con la profundidad.
• Siempre que el bootstrap paramétrico y la covarianza den resultados muy distintos.

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Notas de implementación

• core/profile_likelihood.py contiene sólo funciones puras (sin dependencia de GUI ni Qt).
• El escaneo se lanza desde la GUI mediante hilos para no bloquear la interfaz.
• Los resultados del perfil se muestran en el panel de diagnóstico y se incluyen en el informe PDF si se activa la opción correspondiente.
• Si $\Delta\chi^2$ nunca supera el nivel (curva plana), el parámetro puede ser no identificable o estar en un borde activo: interpretar con cautela.