02_theoretical_mechanics

理论力学基础

这部分内容是将偏置并联构型机器人抽象为轮式倒立摆机构、对整体轮式倒立摆进行分析的理论基础，对后续VMC相关内容的理解有很大帮助，但是概念较为抽象，可以先看后面的实际推导，遇到相应概念再往前查看。

约束

机械运动

机械运动的分类为

1. 自由运动。坐标、速度完全取决于有明确形式的力和初始条件。
2. 有约束运动（非自由运动）。坐标和速度存在一些形式上不涉及任何力的限制关系—约束物体的坐标和速度（初始条件）之间存在的一些限制关系。

约束

约束可以有以下分类方法

1. 完整约束（几何约束）；非完整约束（微分约束）
2. 稳定约束；非稳定约束
3. 可解约束；不可解约束

Note · 完整约束（几何约束）

即仅与各质点坐标有关，而与各质点的速度无关。例如，质点被约束在曲线或者曲面上运动，约束方程就是该曲线或者曲面。

1. 稳定的几何约束 $f(\vec{r}_{1},\vec{r}_{2},\dots \vec{r}_{N})=0$
2. 不稳定的几何约束 $f(\vec{r}_{1},\vec{r}_{2},\dots \vec{r}_{N};t)=0$

$$f(\vec{r}_{1},\vec{r}_{2},\dots \vec{r}_{N};t)=0$$

Note · 非完整约束

或微分形式 如果可以积分，则可积分为完整约束；不可积分，才是非完整约束

$$f(\vec{r},\dot{\vec{r}},t)=0$$ $$\sum c_{i}d\vec{r}_{i}+dt=0$$

广义坐标

自由度

Note · 自由度：系统独立变量数

1. 自由运动。$N$ 个质点共 $3N$ 个独立参量描述，自由度为：$3N$
2. 约束运动。$N$ 个质点间存在 $k$ 个完整约束。自由度为：$s = 3N - k$

广义坐标

Note · 广义坐标

如果系统可以用 $s$ （系统自由度）个独立坐标来描述，这些独立变量称为广义坐标，如

Tip

对于广义坐标的选用，可以选取长度、角度、坐标等等，有无数多选取方法，遵循简洁且最适合实际物理模型的原则。

$$\vec{r}_{i}=\vec{r}_{i}(q_{1},q_{2},\dots,q_{s};t),i=1,2,\dots,N$$

Note · 位形空间

广义坐标张成的空间 $\mathbb{R}^{s}$

Note · 广义速度

广义坐标的微分 $\dot{q}_{\alpha}(\alpha=1,2,\dots,s)$

拉格朗日量

Note · 拉格朗日量

定义为广义坐标下，动能与势能之差

$$L(q,\dot{q};t)=T(\dot{q};t)-V(q;t)$$

虚功原理

虚位移

Note · 虚位移

假想系统的各质点瞬时发生了微小的符合约束条件的位移，称为虚位移

1. 不需要时间
2. 不必实际发生，无限多种
3. 满足约束条件

Note · 虚位移（变分）与实位移（微分）

符号约定 4. 实位移：$d\vec{r}$，全微分 5. 虚位移：$\delta \vec{r}$，等时变分 $\delta t=0$ 区别 6. 虚位移是瞬时完成的（$dt = 0$）或者说是假想的偏离真实物理位置的移动， 不需要时间；而实位移需要一小段时间（$dt \neq 0$） 7. 虚位移在满足约束的条件下可以任意选取，并未真实发生，而实位移一般与质点的真实运动相关 8. 虚位移的方向无论是稳定约束还是非稳定约束，都是沿着约束的切线方向， 而实位移在非稳定约束时，不一定沿着约束的切线方向

理想约束

Note · 理想约束

$$\sum \vec{R}_{i}\cdot \delta \vec{r}_{i}=0$$

例如

1. 物体在光滑曲面运动 $\vec{R}\perp \delta \vec{r}$
2. 刚性约束：约束力成对出现 $\vec{R}_{1}+\vec{R}_{2}=0$
3. 接触约束：将摩擦力当成主动力

虚功原理

Note · 虚功原理

在理想约束条件下，主动力所做的总虚功为零

$$\delta W=\sum F_{i}\cdot \delta r_{i}=0$$

Note · 虚功

力在虚位移下所做的假想的功

$$\delta W=\sum(F_{i}+R_{i})\cdot r_{i}$$

虚功原理主要用于静力学分析，所有质点处于平衡态时，主动力与约束力平衡

$$F_{i}+R_{i}=0$$ $$\delta W=\sum(F_{i}+R_{i})\cdot r_{i}=0$$

对于理想约束

$$\delta W=\sum F_{i}\cdot \delta r_{i}=0$$

使用广义坐标，方程可以化为

$$\sum_{\alpha=1}^{s}\sum_{i=1}^{N}F_{i}\cdot \frac{ \partial r_{i} }{ \partial q_{\alpha} } \delta q_{\alpha}=0$$

由于广义坐标是独立变量，引入广义力定义

Note · 广义力

$$Q_{\alpha}=\sum_{i=1}^{N}F_{i}\cdot \frac{ \partial r_{i} }{ \partial q_{\alpha} }$$

那么

$$\sum_{\alpha=1}^{s}Q_{\alpha}\delta q_{\alpha}=0$$

由广义坐标的独立性

$$Q_{\alpha}=0$$

对于保守力体系

$$F_{i}=-\nabla_{i}V$$ $$Q_{\alpha}=-\sum_{i=1}^{N}\nabla _{i}V\cdot \frac{ \partial r_{i} }{ \partial q_{\alpha} } =-\frac{ \partial V }{ \partial q_{\alpha} } =0$$ $$\delta W=\sum_{i=1}^{N}F_{i}\cdot \delta r_{i}=\sum_{\alpha=1}^{s}Q_{\alpha}\delta q_{\alpha}=-\sum_{\alpha=1}^{s}\frac{ \partial V }{ \partial q_{\alpha} } \delta q_{\alpha}=-\delta V=0$$

达朗贝尔原理

Note · 达朗贝尔原理

主动力和惯性力所做的总虚功为0

$$\sum(F_{i}-m_{i}\ddot{r_{i}})\cdot \delta r_{i}=0$$

从每个质点的运动方程开始

$$m_{i}\ddot{r_{i}}=F_{i}+R_{i},i=1,2,\dots,N$$ $$F_{i}+R_{i}-m_{i}\ddot{r_{i}}=0,i=1,2,\dots,N$$

即

$$\sum(F_{i}+R_{i}-m_{i}\ddot{r_{i}})\delta r_{i}=0$$

代入理想约束，即为

$$\sum(F_{i}-m_{i}\ddot{r_{i}})\cdot \delta r_{i}=0$$

拉格朗日方程