03_control_theory

控制理论基础

这里只涉及最少的控制理论中与LQR强相关的前置知识，大部分属于现代控制理论。而经典控制理论和其某些概念是完全互通的，在这里不做涉及，对整个控制理论感兴趣的同学可以看《控制之美》

基础概念

Note · 动态系统（Dynamic System）

状态随时间变化的系统，特点为状态变量（State Variable）为时间的函数。

Note · 线性时不变系统（Linear Time Invariant System）

1. 线性 : 指系统的输入和输出是线性映射的，符合叠加原理（Superposition Principle）
2. 时不变性 : 指的是如果系统的输入信号延迟了时间T,那么系统的输出也会延迟时间T

卷积

对于线性时不变系统而言，系统的输入和输出之间是卷积（convolution) 的关系，即系统的输入和输出会对未来一段时间之内的系统输出产生影响。

e.g.: 扯一根弹簧，弹簧在t时刻的输出和(t-1)时刻的输出（即位移）和(t-1)时刻输入的力有关。

Note · 卷积

$$x(t)=\lim_{ \Delta T \to \infty }\sum^n_{i=0} u(i\Delta T)\Delta Th_{\Delta}(t-i\Delta T)=\int^t_{0}u(\tau)h(t-\tau)d\tau=u(t)*h(t)$$

$x(t)$ 代表输出，$u(t)$ 代表输入，$h(t)$ 代表系统对于冲激函数 $\delta(t)$ 的冲激响应（Impulse Response）。（简略来说，任意输入都可以表示成多个冲激信号的叠加，系统对每个冲激信号都有响应，就叫冲激响应）。详细的推导过程见《控制之美》卷1-2.1.1.

Tip

卷积也在图像处理方向（CV领域）被常见运用，如 CNN (Convolution Neural Network)。CNN 中的「卷积核」就是 LTI 系统中的冲激响应 $h(t)$。因为图片是二维的，则CNN的每一层可以看作一个二维离散LTI系统，just for elaborate, 感兴趣的同学可以去看看。

状态空间方程

现代控制理论的核心工具，描述系统内部如何演化。状态空间方程是一个集合，包含了系统的输入、输出及状态变量，并把它们用一系列的一阶微分方程表达出来。

Note · 状态空间方程

连续时间线性系统： 其中：

• $\mathbf{x}$：状态（State）
• $\mathbf{u}$：输入（Input）
• $\mathbf{y}$：输出（Output） 矩阵：
• $A$：系统矩阵，表示系统状态变量之间的关系
• $B$：输入矩阵，表示输入对状态变量的影响
• $C$：输出矩阵，表示系统的输出与系统状态变量之间的关系
• $D$：直接传递矩阵，表示系统的输入直接作用在系统输出的部分

$$\dot{\mathbf{x}} = A\mathbf{x} + B\mathbf{u}$$ $$\mathbf{y} = C\mathbf{x} + D\mathbf{u}$$

Note · 建模

有了状态空间方程，有一个物理系统，我们应该如何建模？

1. 首先通过对系统的经典力学分析和动力学分析得到动态微分方程（如在弹簧-阻尼系统中$m\frac{d^2x(t)}{dt^2}+b\frac{dx(t)}{dt}+kx(t)=f(t)$）。
2. 其次选择状态变量，使得状态$x$满足$x(t_{0})+u(t\geq t_{0})$能够唯一确定$x(t)$和$y(t)$对于所有未来时刻即可。第一步中的建模精确性影响第二步的状态变量选择，也是后续不同建模的主要区别。
3. 然后则是根据第一步中列出的公式和状态变量$x(t)$，求解矩阵ABCD。