24_PD制御
今回は，前回のPI制御に引き続き，PID制御までの説明を試みます。 試みましたが駄目でした。PD制御までです。
前回，P制御の問題点として"定常偏差"というものを取り挙げました。
これは，外乱等の要因により，最終的な収束値が，目標値とずれることを指します。
定常偏差は，I制御の導入により無くすことができます。
しかしながら，P制御もしくはI制御は，ゲインを大きくしていくと軌道がぶれぶれ（振動的）になります。
やりすぎると，ラインから外れてしまいます。制御では発散と呼びます。
一旦おさらいがてらグラフを描いてみましょうか。
ひとまずP制御だけにしましょう。前回のソースコードで，Ki = 0としてください。
一応，controller.mのコードを以下に示します。
persistent tr_sensor sum_e
Kp = 0.01;
Ki = 0.0; % 積分ゲインを0に
r = 0;
if isempty(tr_sensor)
tr_sensor = -7:1:7;
end
if isempty(sum_e)
sum_e = 0;
end
z = 0;
Nz = ones(1,15)*( value_light_sensor(:,1)<50 );
if Nz > 0
z = ( tr_sensor*( value_light_sensor(:,1) < 50 ) ) / Nz;
end
e = r-z;
sum_e = sum_e + e*delta_t;
u = [1;-1] .* ( Kp * e + Ki * sum_e ) + [0.3; 0.3];実行してみましょう。グラフはこんな感じになりますか？
ラインを一度検知した後も，何度か大きくラインをはみ出しています。
この赤で囲ったはみ出し部分を，制御の用語でオーバーシュートと呼びます。
オーバーシュートが大きかったり，振動的である期間が長いと，例えば通路が狭いときに衝突する危険性があります。
これの補正を試みるのが，D制御です。
D制御（微分制御，Derivative Control）は，その名の通り，偏差を微分します。
あとは今まで通り，定数倍して入力に加えるだけです。
P制御と合わせて数式で見てみると
少し雑ですが離散化して，
大体こんな感じになります。
それでは実装してみましょう。
コードはこんな感じです。Ki = 0として積分項は止めてあります。（自分で実装したい人はそれでもいいですよ）
persistent tr_sensor sum_e pre_e
Kp = 0.01;
% Ki = 0.02;
Ki = 0.0; % 積分ゲインを0に
Kd = 0.0001;
r = 0;
if isempty(tr_sensor)
tr_sensor = -7:1:7;
end
if isempty(sum_e)
sum_e = 0;
pre_e = 0;
end
z = 0;
Nz = ones(1,15)*( value_light_sensor(:,1)<50 );
if Nz > 0
z = ( tr_sensor*( value_light_sensor(:,1) < 50 ) ) / Nz;
end
e = r-z;
sum_e = sum_e + e*delta_t;
u = [1;-1] .* ( Kp * e + Ki * sum_e + Kd * (e - pre_e)/delta_t ) + [0.3; 0.3];
pre_e = e;まず，
persistent tr_sensor sum_e pre_eとして，前回の偏差eの値を記録するために，pre_eという永続変数を作成します。
続いて，
Kd = 0.0001;微分ゲインKdを設定します。
なんでPI制御の時と同様にKpと同じ0.01くらいから試さないんですか？オーダー2つも違いますよ？
と疑問に思った方，その通りです。
これは私の勘が0.01という値に対し警告を発しているためです。
オーダーいじるとどうなるかは後で見てみましょう。一度，Kd = 0.0001でお許しください。
説明を続けます。
if isempty(sum_e)
sum_e = 0;
pre_e = 0;
endの部分でpre_eを初期化します。sum_eが初期化されてなければ、pre_eも初期化されていないので，同じ場所で初期化を行います。
ちなみに，今回，pre_eは初期値を0として扱いますが，pre_eの初期化には十分注意してください。
安直に0にすると，初回時に値が微分項が吹っ飛ぶ可能性があります。
本来，k = 0のとき，e(k-1)が存在しないことが原因です。
安全性を考えるならば，初回時のみKd = 0とするなどして，微分項が作用しないようにした方が良いでしょう。
ここでは，コードのシンプルさを要求すること，初回が0（ライン未検出）としてもそこまで被害は出ないと考えたため，このまま行きます。
u = [1;-1] .* ( Kp * e + Ki * sum_e + Kd * (e - pre_e)/delta_t ) + [0.3; 0.3];で制御を行いますが，微分の項が追加されています。delta_tで偏差の差を割り算します。
積分項も残りっぱなしですが，Ki = 0としているので寄与しません
最後に，
pre_e = e;として，今回の偏差を記録しておきます。
お疲れ様でした。実行してグラフを見てみましょう。
どうですか？オーバーシュートが軽減したことがわかりますか？
横並びで比較したのが次の図です。
左がP制御，右がPD制御です。
P制御の時は510を超えていた山が，PD制御では若干減少しているのがわかりますね。
これが微分項の威力です。
とはいえ，もう少しオーバーシュートを抑えたいですよね？
お待ちかね，チューニングのお時間です。
慣例に従い，オーダーを一つ上げてKd = 0.001として，実行してみましょう
はい素晴らしい！
オーバーシュートがなくなりました！！
大分綺麗に追従するようになりましたね。
ですが，一つ困ったことが生じているのに気が付きますか？
そう，追従が遅くなっているのです。
改めて，Kd = 0.000とKd = 0.001でのグラフを比較してみましょう
このように，最終的な収束値505付近に到達するのは，Dゲインが小さいほうが速いです。
結局微分項は応答をなまらせているため，このような状況になります。
もう一点，D制御には問題点があります。
ここでようやく，Kp = 0.01, Kd = 0.01の同じ値を試してみましょう。
皆さんもやってみてください。
滅茶苦茶になりましたか？
コースアウトすることもあるかもしれませんが，下に示すのはかろうじてゴールできた場合です。
振動を抑えるはずのD制御が，制御を不安定にしてしまっています。
これは，微分項が誤差を増幅してしまう性質があることによります。
そのため，計測誤差やら量子化誤差（測定値の離散化の際に生じる誤差）等によりロボットが大きく振り回されてしまうのです。
以上，お分かり頂けましたか？
D制御はオーバーシュートを軽減し，応答曲線を滑らかにしてくれる一方で，追従の遅れや誤差の増幅につながります。
結局，適切なチューニングが非常に重要ということになります。
さて，いよいよ，P，I，Dそれぞれの良さを組み合わせた，PID制御に入ります。