Allocatie procedure in formules

Gedecentraliseerd allocatiemodel met vaste prijzen

Het model beschrijft hoe eigenaren/developers per land unit $i$ een subsector $j$ kiezen op basis van totale winst $S_{ij}$, terwijl ruimtelijke claims per subsector-regio $(j,r)$ niet overschreden worden. Prijzen zijn vast (geen marktevenwicht of prijsaanpassing). Voor decompositie en interpretatie van claims kunnen Lagrangian relaxation / shadow prices worden gebruikt.

---

Sets, mapping

• $I$: set van land units (e.g. rastercellen), index $i$.
• $J$: set van subsectoren, index $j$.
• $R$: set van regio’s, index $r$.
• $r(i)\in R$: regiomapping: de regio waarin cel $i$ ligt.

Parameters

• $S_{ij}$: totale winst bij keuze $(i,j)$: verkoopopbrengst $-$ verwervingskosten (huidige panden) $-$ sloop $-$ bouw $-$ woon/bouwrijp maken $-$ plan- en bovengrondse kosten.
• $D_{ij}$: aantal objecten van $j$ in cel $i$ na herontwikkeling (nieuw gerealiseerd in die cel).
• $E_{ij}$: bestaande objecten van $j$ in cel $i$ (status quo).
• $C_{jr}$: boven­grens (cap) op eindvoorraad van subsector $j$ in regio $r$.
• (optioneel) $A_{ij}\in{0,1}$: haalbaarheidsmasker (1 = keuze toegestaan, 0 = verboden).

Opmerking. Als de beleidsdoelen claims op toevoegingen zijn i.p.v. eindvoorraden, zie § 4 (alternatieve formulering).

Beslissingsvariabelen

• $x_{ij}\in{0,1}$: 1 als cel $i$ herontwikkeld wordt naar subsector $j$; anders 0.
• $x_{i0}\in {0,1}$: 1 als cel $i$ ongewijzigd blijft (status quo); anders 0. Buitenoptie $j=0$ heeft by definition $S_{i0}=0,\ D_{i0}=0$.

---

Model (eindvoorraden; vervanging van huidig gebruik)

Doelfunctie (maximaliseer totale winst)

$$\max_{x}\sum_{i\in I}\sum_{j\in J} S_{ij} \cdot x_{ij} \qquad \text{(1)}$$

Comment: Omdat prijzen vast zijn en in $S_{ij}$ zitten, volstaat het maximaliseren van totale ontwikkelaarswinst.

Exclusiviteit per cel (exact één keuze: herontwikkel of niets doen)

$$\sum_{j\in J} x_{ij} + x_{i0} =; 1 \qquad \forall i\in I \qquad \text{(2)}$$

Comment: Laat desgewenst $\le 1$ toe als “onbeslist” ook mag.

Eindvoorraad in een cel (status-quo óf nieuwe subsector)

Definieer voor rapportage en caps de eindvoorraad in cel $i$:

$$F_{ij}(x)=E_{ij} x_{i0} + D_{ij} x_{ij} \qquad \text{(3)}$$

Comment: Bij herontwikkeling $(x_{ij}=1)$ vervangt $D_{ij}$ de bestaande $E_{i\cdot}$ in die cel; bij niets doen $(x_{i0}=1)$ blijft $E_{ij}$ staan.

Regionale caps op eindvoorraden

$$\sum_{i: r(i)=r} F_{ij}(x) \le C_{jr} \qquad \forall j\in J,\ \forall r\in R \qquad \text{(4)}$$

Comment: Caps worden per $(j,r)$ niet overschreden. Als $\sum_{i: r(i)=r} E_{ij}>C_{jr}$, vereist (4) wegherontwikkeling (soms met $S_{ij}<0$).

Haalbaarheid (optioneel)

$$x_{ij} \le A_{ij} \qquad \forall i\in I \forall j\in J \qquad \text{(5)}$$

Comment: Forceert $x_{ij}=0$ waar een alternatief technisch/planologisch niet is toegestaan.

Domein

$$x_{ij}\in{0,1} \quad x_{i0}\in{0,1} \qquad \text{(6)}$$

---

Interpretatie & theoretische ankers

• Probleemklasse. (1)–(6) is een 0–1 MILP met per cel één keuze en capaciteitsrestricties per $(j,r)$. Dit is nauw verwant aan de Multiple Knapsack Problem (MKP) en de (Generalized) Assignment Problem (GAP) (Combinatorial Optimization).
• Decentraal met rationering. Geen prijsendogeniteit: caps werken als administratieve quota. De Lagrangiaan bij (4) introduceert schaduwprijzen $\lambda_{jr}\ge 0$ (klassieke Lagrangian relaxation), bruikbaar voor decompositie/heuristiek:

$$\mathcal{L}(x,\lambda)=\sum_{i,j} S_{ij}x_{ij}-\sum_{j,r}\lambda_{jr}!\left(\sum_{i:r(i)=r}(E_{ij}x_{i0}+D_{ij}x_{ij})-C_{jr}\right) \qquad \text{(7)}$$

Comment: Voor vast $\lambda$ ontkoppelt $\mathcal{L}$ in cel-keuzes met “penalty’s” $\lambda_{jr}D_{ij}$ en beloning $\lambda_{jr}E_{ij}$ bij niets doen—klassiek in Lagrange-heuristieken.

• Greedy volgens waarde-dichtheid. Een veelgebruikte heuristiek (knapsack-literatuur) selecteert paren $(i,j)$ op waarde-per-unit:

$$e_{ij} = \frac{S_{ij}}{D_{ij}}\quad (\text{negeer } D_{ij}=0) \qquad \text{(8)}$$

Sorteer dalend op $e_{ij}$, accepteer zolang (4) niet wordt geschonden en cel $i$ nog vrij is. Dit is snel en vaak sterk, maar niet altijd optimaal.

---

1-regel alternatief: caps op toevoegingen i.p.v. eindvoorraad (optioneel)

Als beleid claims op netto toevoegingen afdwingt, definieer $\Delta_{ij}(x)=D_{ij}x_{ij}-E_{ij}(1-x_{i0})$. De regionale additions-cap wordt:

$$\sum_{i:r(i)=r}\Delta_{ij}(x)\le C_{jr}^\mathrm{add}\qquad\text{met}\quad C{jr}^\mathrm{add}=C_{jr}-\sum_{i:r(i)=r}E_{ij} \qquad \text{(9)}$$

Comment: (9) is algebraïsch equivalent aan (4); (4) is vaak conceptueel helderder als de cap op eindstand is geformuleerd.

---

Samenvattende eigenschappen

• Decentraal gedrag: Eigenaren kiezen per cel de optie met hoogste $S_{ij}$, maar een planner/rationeerder selecteert feitelijk welke keuzes door mogen gaan i.v.m. (4).
• Vervanging gemodelleerd: (3) borgt dat herontwikkeling in $i$ het bestaande gebruik $E$ verdringt en elders gecompenseerd moet worden om caps te halen.
• Complexiteit: NP-moeilijk (zoals MKP/GAP); MILP-solvers (Gurobi/CPLEX/OR-Tools/CBC) zijn geschikt; Lagrange-relaxatie en greedy-heuristieken bieden snelle near-optimal oplossingen.
• Theoretische haakjes: Multiple Knapsack / Generalized Assignment, Lagrangian relaxation & surrogate pricing, binary assignment, quantity rationing (administratieve quota i.p.v. prijsaanpassing).

---

Korte toelichting bij implementatie

• Warm start: start met greedy (8), fixeers $x$, en geef dit aan de MILP-solver als startoplossing.
• Maskers: encodeer planologische uitsluitingen in $A_{ij}$ en zet $x_{ij}\le A_{ij}$.
• Stabiliteit: als caps krap zijn of $D_{ij}$ groot, profiteert de solver sterk van pre-sorting op $e_{ij}$ en cutting planes (knapsack cover cuts).
• Rapportage: gebruik (3) om eindvoorraden uit het gekozen $x$ te reconstrueren per $(j,r)$.

---

Notatiecheck

• Formules (1)–(6): hoofdmodel met eindvoorraden.
• (7): Lagrangiaan (theoretisch/heuristisch nuttig, prijzen blijven exogeen).
• (8): greedy-efficiency.
• (9): alternatief met additions-caps (equivalentie bij $C^{\text{add}}{jr}=C{jr}-\sum E_{ij}$).

---

Eerdere overpeinzingen

Zichtjaar > Sequenties > SectorAllocRegio > Iters > Subsector

Iteraties Sequenties

Ai moet gewoon A zijn zaaglijn=

Fij,a wel meenemen

y = year (i.e. Zichtjaren) s = sequentie

r = AllocRegio (e.g. NVM, COROP, Provincie, NL) i = land unit index: 1...n (i.e. cell) j = subsector index: 1...k

• $S_{ij}$ = Suitability of land unit i for subsector j (e.g. potentiele winst per land unit i van subsector gegeven potentiele dichtheid)
• $D_{ij}$ = Number of objects of subsector j that can be allocated in land unit i (i.e. PotentieleStateNaAllocatie)
• $C_{jr}$ = Claim for subsector j in region r
• $E_{ij}$ = Current number of objects of subsector j in land unit i
• $X_{ij}$ = Allocatie resultaat (tussen 0 en 1, in praktijk 0 of 1)

Iedere eigenaar van land unit i en ontwikkelaar van subsector j wordt geacht de eigen opbrengst te maximaliseren waarbij de geschiktheid S_ij bekend is bij de land eigenaren en de keuze van andere actoren als gegeven verondersteld wordt.

$\forall i: \max \sum_j S_{ij} \cdot X_{ij}$ s.t.

• land unit: $\sum_{j=0}^k X_{ij} = 1$

$$\sum_{j=0}^k X_{ij} = 1$$

$\forall j: \max \sum_i S_{ij} \cdot X_{ij}$ s.t.

• claim: $\forall r: \sum_{i \in r}: X_{ij} \cdot D_{ij} + X_{i_0} \cdot E_{ij} = C_{jr}$

Er is een greedy heuristiek geimplementeerd om zodanige X_{ij} te vinden, waarbij in iteraties de meest profijtelijke allocatie per land unit i wordt gevonden (i.e. combinatie van subsector j en bijbehorende dichtheid).

Ter referentie, in discrete allocatie: for each j: max SUM i:= 1...n S_{ij} \cdot X_{ij} s.t. zelfde condities als hierboven.

Aannames:

• elke land unit heeft een aparte ontwikkelaar (eigenaar) die een onafhankelijke keuze maakt.
• uitkopen huidig opstal obv huidige prijzen

voor elke land unit is de eigenaar voornemens dit te verkopen aan kopersgroepen (subsectoren), zijn investeringskeuze is afhankelijk van de maximale haalbare winst en wat hij dus nog kan verkopen.