Allocatie procedure in formules

Gedecentraliseerd allocatiemodel met vaste prijzen

Het model beschrijft hoe eigenaren/developers per land unit $i$ een subsector $j$ kiezen op basis van totale winst $S_{ij}$, terwijl ruimtelijke claims per subsector-regio $(j,r)$ niet overschreden worden. Prijzen zijn vast (geen marktevenwicht of prijsaanpassing). Voor decompositie en interpretatie van claims kunnen Lagrangian relaxation / shadow prices worden gebruikt.

---

Sets, mapping

• $I$: set van land units (e.g. rastercellen), index $i$.
• $J$: set van subsectoren (e.g. eengezins vrije sector woningen), index $j$.
• $R$: set van regio’s (e.g. NVM, COROP, Provincie), index $r$.
• $r(i)\in R$: regiomapping: de regio waarin land unit $i$ ligt.

Parameters

• $S_{ij}$: winst bij keuze $(i,j)$: verkoopopbrengst $-$ verwervingskosten (huidige panden) $-$ sloop $-$ bouw $-$ woon/bouwrijp maken $-$ plan- en bovengrondse kosten.
• $D_{ij}$: aantal objecten van $j$ in land unit $i$ na ontwikkeling (nieuw gerealiseerd in die cel).
• $E_{ij}$: huidige aantal objecten van $j$ in land unit $i$ (status quo).
• $C_{jr}$: claim (regionale vraag) van subsector $j$ in regio $r$.

Beslissingsvariabelen

• $x_{ij}\in{0,1}$: 1 als land unit $i$ herontwikkeld wordt naar subsector $j$; anders 0.
• $x_{i0}\in {0,1}$: 1 als land unit $i$ ongewijzigd blijft (status quo); anders 0. Buitenoptie $j=0$ heeft by definition $S_{i0}=0,\ D_{i0}=0$.

---

Model

We wijzen ontwikkelopties $ij$ toe in aflopende volgende van $S_{ij}$ voor zover subsector $j$ nog niet gesatureerd is tot aan $C_{jr}$ door eerdere toewijzingen.

De consequentie hiervan is dat er voor iedere $j$ indien gesatureerd is een laatste toewijzing is met waarde $S_{ij}$, dit noemen we $Z_{jr}$. Er geldt dat voor iedere $i$ met $S_{ij} > Z_{jr}$ dat die gealloceerd is aan $j$ of een betere optie en voor iedere $S_{ij} <= Z_{jr}$ dat die $i$ tenminste niet aan die $j$ is toegewezen.

Voor elke land unit $i$ geldt dus (1) gegeven de voorwaarden (2-5):

$$\forall j\max_{x}\sum_{i\in I} S_{ij} \cdot x_{ij} \qquad \text{(1)}$$

NB: omdat prijzen vast zijn en in $S_{ij}$ zitten, volstaat het maximaliseren van totale ontwikkelaarswinst.

Exclusiviteit per land unit $i$ (exact één keuze: herontwikkel of niets doen)

$$\sum_{j\in J} x_{ij} + x_{i0} = 1 \qquad \forall i\in I \qquad \text{(2)}$$

Eindvoorraad in land unit $i$ (status-quo óf nieuwe subsector)

$$F_{ij}(x)=E_{ij} x_{i0} + D_{ij} x_{ij} \qquad \text{(3)}$$

Oftewel, bij herontwikkeling $(x_{ij}=1)$ vervangt $D_{ij}$ de bestaande $E_{ij}$ in die land unit; bij niets doen $(x_{i0}=1)$ blijft $E_{ij}$ staan.

Regionale claims op eindvoorraden

$$\sum_{i: r(i)=r} F_{ij}(x) \le C_{jr} \qquad \forall j\in J,\ \forall r\in R \qquad \text{(4)}$$

Domein

$$x_{ij}\in{0,1} \quad x_{i0}\in{0,1} \qquad \text{(5)}$$

---

Interpretatie & theoretische ankers

• Decentraal met rationering. Geen prijsendogeniteit: claims werken als administratieve quota. De Lagrangiaan bij (4) introduceert schaduwprijzen $\lambda_{jr}\ge 0$ (klassieke Lagrangian relaxation), bruikbaar voor decompositie/heuristiek:

$$\mathcal{L}(x,\lambda)=\sum_{i,j} S_{ij}x_{ij}-\sum_{j,r}\lambda_{jr}!\left(\sum_{i:r(i)=r}(E_{ij}x_{i0}+D_{ij}x_{ij})-C_{jr}\right) \qquad \text{(6)}$$

Comment: Voor vast $\lambda$ ontkoppelt $\mathcal{L}$ in cel-keuzes met “penalty’s” $\lambda_{jr}D_{ij}$ en beloning $\lambda_{jr}E_{ij}$ bij niets doen—klassiek in Lagrange-heuristieken.

• Greedy volgens waarde-dichtheid. Een veelgebruikte heuristiek (knapsack-literatuur) selecteert paren $(i,j)$ op waarde-per-unit:

$$e_{ij} = \frac{S_{ij}}{D_{ij}}\quad (\text{negeer } D_{ij}=0) \qquad \text{(8)}$$

Sorteer dalend op $e_{ij}$, accepteer zolang (4) niet wordt geschonden en cel $i$ nog vrij is. Dit is snel en vaak sterk, maar niet altijd optimaal.

---

Eerdere overpeinzingen

Zichtjaar > Sequenties > SectorAllocRegio > Iters > Subsector

Iteraties Sequenties

Ai moet gewoon A zijn zaaglijn=

Fij,a wel meenemen

y = year (i.e. Zichtjaren) s = sequentie

r = AllocRegio (e.g. NVM, COROP, Provincie, NL) i = land unit index: 1...n (i.e. cell) j = subsector index: 1...k

• $S_{ij}$ = Suitability of land unit i for subsector j (e.g. potentiele winst per land unit i van subsector gegeven potentiele dichtheid)
• $D_{ij}$ = Number of objects of subsector j that can be allocated in land unit i (i.e. PotentieleStateNaAllocatie)
• $C_{jr}$ = Claim for subsector j in region r
• $E_{ij}$ = Current number of objects of subsector j in land unit i
• $X_{ij}$ = Allocatie resultaat (tussen 0 en 1, in praktijk 0 of 1)

Iedere eigenaar van land unit i en ontwikkelaar van subsector j wordt geacht de eigen opbrengst te maximaliseren waarbij de geschiktheid S_ij bekend is bij de land eigenaren en de keuze van andere actoren als gegeven verondersteld wordt.

$\forall i: \max \sum_j S_{ij} \cdot X_{ij}$ s.t.

• land unit: $\sum_{j=0}^k X_{ij} = 1$

$$\sum_{j=0}^k X_{ij} = 1$$

$\forall j: \max \sum_i S_{ij} \cdot X_{ij}$ s.t.

• claim: $\forall r: \sum_{i \in r}: X_{ij} \cdot D_{ij} + X_{i_0} \cdot E_{ij} = C_{jr}$

Er is een greedy heuristiek geimplementeerd om zodanige X_{ij} te vinden, waarbij in iteraties de meest profijtelijke allocatie per land unit i wordt gevonden (i.e. combinatie van subsector j en bijbehorende dichtheid).

Ter referentie, in discrete allocatie: for each j: max SUM i:= 1...n S_{ij} \cdot X_{ij} s.t. zelfde condities als hierboven.

Aannames:

• elke land unit heeft een aparte ontwikkelaar (eigenaar) die een onafhankelijke keuze maakt.
• uitkopen huidig opstal obv huidige prijzen

voor elke land unit is de eigenaar voornemens dit te verkopen aan kopersgroepen (subsectoren), zijn investeringskeuze is afhankelijk van de maximale haalbare winst en wat hij dus nog kan verkopen.