Allocatie procedure in formules

Het model beschrijft hoe eigenaren/developers per land unit $i$ een subsector $j$ kiezen op basis van winst $S_{ij}$, terwijl regionale claims per subsector-regio $(j,r)$ niet overschreden worden. Prijzen zijn vast (geen marktevenwicht of prijsaanpassing).

---

Sets, mapping

• $I$: set van land units (e.g. rastercellen), index $i$.
• $J$: set van subsectoren (e.g. eengezins vrije sector woningen), index $j$.
• $R$: set van regio’s (e.g. NVM, COROP, Provincie), index $r$.
• $r(i)\in R$: regiomapping: de regio waarin land unit $i$ ligt.

Parameters

• $S_{ij}$: Suitability, gedefinieerd als de winst bij keuze $(i,j)$: verkoopopbrengst $-$ verwervingskosten (huidige panden) $-$ sloop $-$ bouw $-$ woon/bouwrijp maken $-$ plan- en bovengrondse kosten gegeven een potentiele dichtheid.
• $D_{ij}$: aantal objecten van $j$ in land unit $i$ na ontwikkeling (nieuw gerealiseerd in die cel).
• $E_{ij}$: huidige aantal objecten van $j$ in land unit $i$ (status quo).
• $C_{jr}$: claim (regionale vraag) van subsector $j$ in regio $r$.

Beslissingsvariabelen

• $x_{ij}\in{0,1}$: 1 als land unit $i$ herontwikkeld wordt naar subsector $j$; anders 0.
• $x_{i0}\in {0,1}$: 1 als land unit $i$ ongewijzigd blijft (status quo); anders 0. Buitenoptie $j=0$ heeft by definition $S_{i0}=0,\ D_{i0}=0$.

---

Model

We wijzen ontwikkelopties $ij$ toe in aflopende volgende van $S_{ij}$ voor zover subsector $j$ nog niet gesatureerd is tot aan $C_{jr}$ door eerdere toewijzingen.

De consequentie hiervan is dat er voor iedere $j$ indien gesatureerd is een laatste toewijzing is met waarde $S_{ij}$, dit noemen we $Z_{jr}$.

$$Z_{jr} := \min_{i \in r \land x_{ij} \gt 0} S_{ij} \cdot x_{ij} + \inf \cdot (1 - x_{ij}) \qquad \text{(1)}$$

Er geldt dat voor iedere $i$ met $S_{ij} > Z_{jr}$ dat die gealloceerd is aan $j$ of een betere optie en voor iedere $S_{ij} <= Z_{jr}$ dat die $i$ tenminste niet aan die $j$ is toegewezen.

Voor elke land unit $i$ geldt dus (1) gegeven de voorwaarden (2) en (5):

$$\forall i \max_{x}\sum_{i\in I} S_{ij} \cdot x_{ij} \qquad \text{(1)}$$

NB: omdat prijzen vast zijn en in $S_{ij}$ zitten, volstaat het maximaliseren van totale ontwikkelaarswinst.

Exclusiviteit per land unit $i$ (exact één keuze: herontwikkel of niets doen)

$$\sum_{j\in J} x_{ij} + x_{i0} = 1 \qquad \forall i\in I \qquad \text{(2)}$$

Eindvoorraad in land unit $i$ (status-quo óf nieuwe subsector)

$$F_{ij}(x)=E_{ij} x_{i0} + D_{ij} x_{ij} \qquad \text{(3)}$$

Oftewel, bij herontwikkeling $(x_{ij}=1)$ vervangt $D_{ij}$ de bestaande $E_{ij}$ in die land unit; bij niets doen $(x_{i0}=1)$ blijft $E_{ij}$ staan.

Regionale claims op eindvoorraden

$$\sum_{i: r(i)=r} F_{ij}(x) \ge C_{jr} \qquad \forall j\in J,\ \forall r\in R \qquad \text{(4)}$$

Beperking op toewijzing aan gesatureerde subsectoren

$$\forall i \in r: \quad Z_{jr} < S_{ij} \implies x_{ij} = 0 \qquad \text{(5)}$$

---

Aannames:

• elke land unit heeft een aparte ontwikkelaar (eigenaar) die een onafhankelijke keuze maakt.
• uitkopen huidig opstal obv huidige prijzen