Allocatie procedure in formules

Het model van land allocatie en ontwikkeling schematiseert hoe eigenaren van land units een sub-sector ontwikkelaar kiezen en of ontwikkelaren van subsectoren te verkrijgen land units willen ontwikkelen, wat verondersteld wordt gestuurd te worden door de ontwikkel-winsten en regionale claims per subsector-regio. Ontwikkel-winsten worden verondersteld exogeen te zijn: verkoopopbrengst van de te ontwikkelen objecten $-$ ( verwervingskosten van huidige objecten $+$ sloopkosten $+$ bouwkosten van de te ontwikkelen objecten $+$ woon/bouwrijp maken $+$ plan- en bovengrondse kosten gegeven een potentiele dichtheid ). Er wordt geen marktevenwicht of prijsaanpassing geschat.

---

Sets

• $I$: set van land units (e.g. rastercellen), index $i$.
• $J$: set van subsectoren (e.g. eengezins vrije sector woningen), index $j$.
• $R$: set van regio’s (e.g. NVM, COROP, Provincie), index $r$.

Parameters

• $S_{ij}$: Ontwikkel-winst van land unit $i$ wanneer deze ontwikkeld wordt t.b.v. subsector $j$.
• $D_{ij}$: aantal objecten van $j$ in land unit $i$ na ontwikkeling (nieuw gerealiseerd in die cel).
• $E_{ij}$: huidige aantal objecten van $j$ in land unit $i$ (status quo).
• $R_{ir}\in \{0,1\}$: regio assignment matrix, de mate waarin land unit $i$ in regio $r$ ligt, i.e. $$\forall i: \sum_{r} R_{ir} = 1$$
• $C_{jr}$: claim (regionale vraag) van subsector $j$ in regio $r$.

Beslissingsvariabelen

• $x_{ij}\in\{0,1\}$: 1 als land unit $i$ herontwikkeld wordt naar subsector $j$; anders 0.
• $x_{i0}\in \{0,1\}$: 1 als land unit $i$ ongewijzigd blijft (status quo); anders 0. Buitenoptie $j=0$ heeft by definition $S_{i0}=0,\ D_{i0}=0$.
• $z_{jr}$: minimale ontwikkel-winst die ontwikkelaar $j$ in regio $r$ kan verlangen.

---

Model

We wijzen ontwikkelopties $ij$ toe in aflopende volgende van $S_{ij}$ voor zover subsector $j$ nog niet $C_{jr}$ kan realiseren met eerdere toewijzingen. De consequentie hiervan is dat er voor iedere $j$ indien gesatureerd is, een laatste toewijzing is met waarde $S_{ij}$, dit noemen we $Z_{jr}$. Met andere woorden, iedere ontwikkelaar $j$ ontwikkelt verkregen land units binnen regio $r$ tot aan $Z_{jr}$:

$$\max Z_{jr} \qquad \forall j, \forall r \qquad \text{(1)}$$

Gegeven voorwaarde (2):

$$ Z_{jr} \cdot {ir} \cdot x_{ij} \le S_{ij} \cdot x_{ij} \qquad \forall i, \forall j, \forall r \qquad \text{(2)}$$

Er geldt dat voor iedere $i$ met $S_{ij} > Z_{jr}$ dat die gealloceerd is aan $j$ of een betere optie en voor iedere $S_{ij} <= Z_{jr}$ dat die $i$ tenminste niet aan die $j$ is toegewezen.

Iedere eigenaar van land unit $i$ wordt veronderstelt de land units beschikbaar te stellen aan de ontwikkelaar van subsector $j$ voor zover subsector $j$ deze unit nog wil ontwikkelen.

$$\max_{x}\sum_{i} S_{ij} \cdot x_{ij} \qquad \forall i \qquad \text{(3)}$$

Exclusiviteit per land unit $i$ (exact één keuze: herontwikkel of niets doen):

$$\sum_{j} x_{ij} + x_{i0} = 1 \qquad \forall i \qquad \text{(4)}$$

Regionale claims op eindvoorraden:

$$\sum_{i} R_{ir} \cdot \left( E_{ij} \cdot x_{i0} + D_{ij} \cdot x_{ij} \right) \ge C_{jr} \qquad \forall j, \forall r \qquad \text{(5)}$$

Oftewel, bij herontwikkeling $(x_{ij}=1)$ vervangt $D_{ij}$ de bestaande $E_{ij}$ in die land unit; bij niets doen $(x_{i0}=1)$ blijft $E_{ij}$ staan.

---

Aannames:

• elke land unit heeft een aparte ontwikkelaar (eigenaar) die een onafhankelijke keuze maakt.
• uitkopen huidig opstal obv huidige prijzen

---

Binnen algeheel allocatie proces

Het allocatieproces wordt op meerdere niveaus herhaald. De hiërarchie is als volgt:

1. Zichtjaren – per zichtjaar wordt het model opnieuw uitgevoerd.
2. Sequenties – binnen een zichtjaar vinden meerdere sequenties plaats.
3. Sector-alloc-regio’s – binnen elke sequentie wordt per sector-alloc-regio gealloceerd (bijvoorbeeld Wonen – NVM).
4. Iteraties – binnen een sector-alloc-regio wordt het allocatiemodel iteratief toegepast totdat claims zijn verwerkt.

De volgorde van sector-alloc-regio’s wordt bepaald in de variantparameters. Uiteindelijk wordt dus hetzelfde model meerdere keren uitgevoerd, afhankelijk van zichtjaar, sequentie, regio en iteratie.

---

Sequenties en verdringing

Sequenties zijn nodig om verdrongen objecten (zoals woningen of banen) opnieuw te kunnen alloceren.
Wanneer in een eerdere sequentie objecten worden verdrongen, levert dit restclaims op. Deze restclaims worden in de volgende sequentie opnieuw ingebracht, zodat ze alsnog elders gealloceerd kunnen worden.

---

Overflow-mechanisme

Het alloceren start altijd op het laagste ruimtelijke niveau (bijvoorbeeld regio A).

• Indien alle claims binnen regio A kunnen worden geplaatst, stopt het proces daar.
• Indien dit niet lukt (te weinig geschikte locaties), wordt de restclaim bepaald:
  $$\text{restclaim} = \text{claim} - \text{gerealiseerd in A}$$
• Deze restclaim wordt vervolgens doorgeschoven naar een hoger ruimtelijk niveau (regio B, dat A bevat).
• Het allocatieproces verloopt in regio B identiek, maar nu met de resterende claims. Zo kunnen claims die lokaal niet passen alsnog regionaal worden opgevangen.

---

Iteraties

Binnen elke sector-alloc-regio loopt het allocatieproces iteratief.
Bij elke iteratie worden opties met de hoogste ontwikkelwinst ($S_{ij}$) geselecteerd, totdat de regionale claims ($C_{jr}$) zijn ingevuld of geen geschikte opties meer beschikbaar zijn.

---

Figuur: overzicht van de stappen in het allocatieproces (in te voegen).

Zichtjaren > Sequenties > Sector Alloc regios > iteraties

Bovenstaand proces geschiedt binnen een zichtjaar, een sequentie en binnen een sector-alloc-regio (e.g. Wonen NVM). De volgordelijkheid van de sector-alloc-regios is ingesteld in de variant parameters. Uiteindelijk wordt dus bovenstaand model iteratief toegepast binnen elke sector-alloc-regio.

• figuur samenhang stappen
• overflow

Verdringing

Sequenties zijn nodig om verdrongen wooneenheden, banen, etc in een sequentie in een volgende sequentie te heralloceren, voor zover de verdringing restclaims opleverede.

Overflow

Eerst wordt geprobeerd claims op het laagste ruimtelijke niveau gealloceerd te krijgen (regio A). Vervolgens kan het zo zijn dat er in die regio (regio A) onvoldoede geschikte plekken zijn om een claim een realiseren. In dat geval wordt in de volgende sector-alloc-regio (oftewel, dezelfde sector als eerst, maar op een hoger ruimtelijk niveau) de claim kwijt te kunnen. Hiertoe wordt op het hogere niveau de rest claim bepaald (claim minus wat er op dat moment staat, i.e. na allocatie uit in de vorige sector-alloc-regio). De kans is groot dat er in dat grotere gebied (regio B, deze bevat ook A) wel nog beschikbaar plekken zijn. Het allocatieproces verloopt exact gelijk als voor enkel regio A, alleen wordt er nu dus een deel van de claim die eigenlijk voor regio A bedoeld was, naar buurgebieden verplaatst.

Een kant tekening hierbij is dat wat er op elke locatie (gridcel) geplaatst kan worden kan verschillen over regio's. Zo is de toegestone woningdichtheid en woningtypen locatie (regio) specifiek. Neem bijvoorbeeld Amsterdam, hier kunnen kleine hoge-dichtheid hoogbouw appartementen gebouwd worden. Echter, om wat voor reden dan ook blijkt er te weinig geschikte locaties te zijn om de woningclaim te realiseren. Dan wordt in de volgende sector-alloc-regio van wonen die claim bij die van bijvoobeeld de provincie Noord-Holland opgeteld. Dit zou ervoor kunnen zorgen dat die woningen nu in Zaandam of Purmerend geplaatst gaan worden. Echter daar is de toegestane dichtheid en type woningen anders en zal dit resulteren in wellicht grotere laagbouw appartementen.