Allocatie procedure in formules

Modeloverzicht

Het model van landallocatie en -ontwikkeling schematiseert hoe eigenaren van land units (bijvoorbeeld rastercellen) een subsector kiezen, en hoe ontwikkelaars van subsectoren besluiten of zij een land unit willen ontwikkelen. De keuzes worden verondersteld gestuurd te worden door ontwikkelwinsten en regionale claims per subsector-regio. N.B. Het model schat géén marktevenwicht of prijsaanpassing.

Sets

• $I$: set van land units (e.g. rastercellen), index $i$.
• $J$: set van subsectoren (e.g. eengezins vrije sector woningen), index $j$.
• $R$: set van regio’s (e.g. NVM, COROP, Provincie), index $r$.

Parameters

• $p_j$: gemiddelde verkoopprijs per object in subsector $j$
• $c^b_j$: bouwkosten per object in subsector $j$
• $c^s_j$: sloopkosten per object in subsector $j$
• $D_{ij}$: aantal objecten van subsector $j$ dat in land unit $i$ kan worden gerealiseerd bij potentiële dichtheid
• $E_{ij}$: bestaand aantal objecten van subsector $j$ in land unit $i$
• $K^v_i$: verwervingskosten van de huidige objecten in land unit $i$
• $K^w_i$: kosten voor woon-/bouwrijp maken van land unit $i$
• $K^p_i$: plan- en proceskosten voor land unit $i$
• $K^g_i$: bovengrondse kosten voor land unit $i$

• $R_{ir}\in \{0,1\}$: regio assignment matrix, de mate waarin land unit $i$ in regio $r$ ligt, i.e. $$\forall i: \sum_{r} R_{ir} = 1$$

• $C_{jr}$: claim (regionale vraag) van subsector $j$ in regio $r$

De ontwikkelwinst $S_{ij}$ van land unit $i$ voor subsector $j$ wordt berekend als:

$$S_{ij} = p_j \cdot D_{ij} - K^v_i \cdot E_{ij} - c^s_j \cdot E_{ij} - c^b_j \cdot D_{ij} - K^w_i - K^p_i - K^g_i$$

Beslissingsvariabelen

• $x_{ij}\in\{0,1\}$: 1 als land unit $i$ herontwikkeld wordt naar subsector $j$; anders 0.
• $x_{i0}\in \{0,1\}$: 1 als land unit $i$ ongewijzigd blijft (status quo); anders 0. Buitenoptie $j=0$ heeft by definition $S_{i0}=0,\ D_{i0}=0$.
• $Z_{jr}$: minimale ontwikkel-winst die ontwikkelaar $j$ in regio $r$ kan verlangen.

Formulering van het model

Doel/heuristiek

We wijzen ontwikkelopties $ij$ toe in aflopende volgende van $S_{ij}$ voor zover subsector $j$ nog niet $C_{jr}$ kan realiseren met eerdere toewijzingen. De consequentie hiervan is dat er voor iedere $j$ indien gesatureerd is, een laatste toewijzing is met waarde $S_{ij}$, dit noemen we $Z_{jr}$. Met andere woorden, iedere ontwikkelaar $j$ ontwikkelt verkregen land units binnen regio $r$ tot aan $Z_{jr}$:

$$\max Z_{jr} \qquad \forall j, \forall r \qquad \text{(1)}$$

Gegeven voorwaarde (2):

$$ Z_{jr} \cdot {ir} \cdot x_{ij} \le S_{ij} \cdot x_{ij} \qquad \forall i, \forall j, \forall r \qquad \text{(2)}$$

Er geldt dat voor iedere $i$ met $S_{ij} > Z_{jr}$ dat die gealloceerd is aan $j$ of een betere optie en voor iedere $S_{ij} <= Z_{jr}$ dat die $i$ tenminste niet aan die $j$ is toegewezen.

Iedere eigenaar van land unit $i$ wordt veronderstelt de land units beschikbaar te stellen aan de ontwikkelaar van subsector $j$ voor zover subsector $j$ deze unit nog wil ontwikkelen.

$$\max_{x}\sum_{i} S_{ij} \cdot x_{ij} \qquad \forall i \qquad \text{(3)}$$

Exclusiviteit per land unit $i$ (exact één keuze: herontwikkel of niets doen):

$$\sum_{j} x_{ij} + x_{i0} = 1 \qquad \forall i \qquad \text{(4)}$$

Regionale claims op eindvoorraden:

$$\sum_{i} R_{ir} \cdot \left( E_{ij} \cdot x_{i0} + D_{ij} \cdot x_{ij} \right) \ge C_{jr} \qquad \forall j, \forall r \qquad \text{(5)}$$

Oftewel, bij herontwikkeling $(x_{ij}=1)$ vervangt $D_{ij}$ de bestaande $E_{ij}$ in die land unit; bij niets doen $(x_{i0}=1)$ blijft $E_{ij}$ staan.

Aannames:

• elke land unit heeft een aparte ontwikkelaar (eigenaar) die een onafhankelijke keuze maakt.
• uitkopen huidig opstal obv huidige prijzen

---

Binnen algeheel allocatie proces

Het allocatieproces wordt op meerdere niveaus herhaald. De hiërarchie is als volgt:

1. Zichtjaren – per zichtjaar wordt het model opnieuw uitgevoerd.
2. Sequenties – binnen een zichtjaar vinden meerdere sequenties plaats.
3. Sector-alloc-regio’s – binnen elke sequentie wordt per sector-alloc-regio gealloceerd (bijvoorbeeld Wonen – NVM).
4. Iteraties – binnen een sector-alloc-regio wordt het allocatiemodel iteratief toegepast totdat claims zijn verwerkt.

De volgorde van sector-alloc-regio’s wordt bepaald in de variantparameters. Uiteindelijk wordt dus hetzelfde model meerdere keren uitgevoerd, afhankelijk van zichtjaar, sequentie, regio en iteratie.

Sequenties en verdringing

Sequenties zijn nodig om verdrongen objecten (zoals woningen of banen) opnieuw te kunnen alloceren.
Wanneer in een eerdere sequentie objecten worden verdrongen, levert dit restclaims op. Deze restclaims worden in de volgende sequentie opnieuw ingebracht, zodat ze alsnog elders gealloceerd kunnen worden.

Overflow-mechanisme

Het alloceren start altijd op het laagste ruimtelijke niveau (bijvoorbeeld regio A).

• Eerst wordt geprobeerd alle claims binnen regio A te plaatsen.
• Indien dit niet lukt (te weinig geschikte locaties), wordt de restclaim bepaald:
  $$\text{restclaim} = \text{claim} - \text{gerealiseerd in A}$$
• Deze restclaim wordt vervolgens doorgeschoven naar een hoger ruimtelijk niveau (regio B, dat A bevat).
• Het allocatieproces verloopt in regio B identiek, maar nu met de resterende claims. Zo kunnen claims die lokaal niet passen alsnog regionaal worden opgevangen.

Dichtheden

Bij allocatie is niet alleen de keuze welke subsector in welke land unit wordt ontwikkeld van belang, maar ook met welke dichtheid dit gebeurt.

• Elke subsector heeft een potentiële dichtheid ($D_{ij}$), die de maximale intensiteit van gebruik in een land unit aangeeft (bijv. aantal woningen per hectare).
• De ontwikkel-winst ($S_{ij}$) is berekend gegeven deze potentiële dichtheid, inclusief bouwkosten, sloopkosten en bijkomende plan- en inrichtingskosten.
• Bij toewijzing van een claim wordt dus impliciet een keuze voor een bepaalde dichtheid gemaakt: hogere dichtheden vergen meer investeringen maar kunnen per saldo meer objecten opleveren.

Iteraties

Binnen elke sector-alloc-regio loopt het allocatieproces iteratief.
Bij elke iteratie worden opties met de hoogste ontwikkelwinst ($S_{ij}$) geselecteerd, totdat de regionale claims ($C_{jr}$) zijn ingevuld of geen geschikte opties meer beschikbaar zijn.