Allocatie procedure in formules

Het model beschrijft hoe eigenaren/developers per land unit $i$ een subsector $j$ kiezen op basis van winst $S_{ij}$, terwijl regionale claims per subsector-regio $(j,r)$ niet overschreden worden. Prijzen zijn vast (geen marktevenwicht of prijsaanpassing).

---

Sets, mapping

• $I$: set van land units (e.g. rastercellen), index $i$.
• $J$: set van subsectoren (e.g. eengezins vrije sector woningen), index $j$.
• $R$: set van regio’s (e.g. NVM, COROP, Provincie), index $r$.
• $r(i)\in R$: regiomapping: de regio waarin land unit $i$ ligt.

Parameters

• $S_{ij}$: Suitability, gedefinieerd als de winst bij keuze $(i,j)$: verkoopopbrengst $-$ verwervingskosten (huidige panden) $-$ sloop $-$ bouw $-$ woon/bouwrijp maken $-$ plan- en bovengrondse kosten gegeven een potentiele dichtheid.
• $D_{ij}$: aantal objecten van $j$ in land unit $i$ na ontwikkeling (nieuw gerealiseerd in die cel).
• $E_{ij}$: huidige aantal objecten van $j$ in land unit $i$ (status quo).
• $C_{jr}$: claim (regionale vraag) van subsector $j$ in regio $r$.

Beslissingsvariabelen

• $x_{ij}\in{0,1}$: 1 als land unit $i$ herontwikkeld wordt naar subsector $j$; anders 0.
• $x_{i0}\in {0,1}$: 1 als land unit $i$ ongewijzigd blijft (status quo); anders 0. Buitenoptie $j=0$ heeft by definition $S_{i0}=0,\ D_{i0}=0$.

---

Model

We wijzen ontwikkelopties $ij$ toe in aflopende volgende van $S_{ij}$ voor zover subsector $j$ nog niet gesatureerd is tot aan $C_{jr}$ door eerdere toewijzingen.

De consequentie hiervan is dat er voor iedere $j$ indien gesatureerd is een laatste toewijzing is met waarde $S_{ij}$, dit noemen we $Z_{jr}$, waarin $M$ een heel groot getal is.

$$Z_{jr} := \min_{i \in r} \left[ S_{ij} \cdot x_{ij} + M \cdot (1 - x_{ij}) \right] \qquad \text{(0)}$$

Er geldt dat voor iedere $i$ met $S_{ij} > Z_{jr}$ dat die gealloceerd is aan $j$ of een betere optie en voor iedere $S_{ij} <= Z_{jr}$ dat die $i$ tenminste niet aan die $j$ is toegewezen.

Voor elke land unit $i$ wordt $x_{ij}$ op 1 gezet op basis van de hoogste $S_{ij}$ gegeven de voorwaarden (2) en (5):

$$\forall i \max_{x}\sum_{i\in I} S_{ij} \cdot x_{ij} \qquad \text{(1)}$$

Exclusiviteit per land unit $i$ (exact één keuze: herontwikkel of niets doen)

$$\sum_{j\in J} x_{ij} + x_{i0} = 1 \qquad \forall i\in I \qquad \text{(2)}$$

Eindvoorraad in land unit $i$ (status-quo óf nieuwe subsector)

$$F_{ij}(x)=E_{ij} x_{i0} + D_{ij} x_{ij} \qquad \text{(3)}$$

Oftewel, bij herontwikkeling $(x_{ij}=1)$ vervangt $D_{ij}$ de bestaande $E_{ij}$ in die land unit; bij niets doen $(x_{i0}=1)$ blijft $E_{ij}$ staan.

Regionale claims op eindvoorraden

$$\sum_{i: r(i)=r} F_{ij}(x) \ge C_{jr} \qquad \forall j\in J,\ \forall r\in R \qquad \text{(4)}$$

Beperking op toewijzing aan gesatureerde subsectoren

$$\forall i \in r: \quad Z_{jr} < S_{ij} \implies x_{ij} = 0 \qquad \text{(5)}$$

---

Aannames:

• elke land unit heeft een aparte ontwikkelaar (eigenaar) die een onafhankelijke keuze maakt.
• uitkopen huidig opstal obv huidige prijzen

---

Binnen algeheel allocatie proces

Zichtjaren > Sequenties > Sector Alloc regios > iteraties

Bovenstaand proces geschiedt binnen een zichtjaar, een sequentie en binnen een sector-alloc-regio (e.g. Wonen NVM). De volgordelijkheid van de sector-alloc-regios is ingesteld in de variant parameters. Uiteindelijk wordt dus bovenstaand model iteratief toegepast binnen elke sector-alloc-regio.

• sequenties door verdringing door andere sectoren.
• figuur samenhang stappen
• overflow

Overflow

Eerst wordt geprobeerd claims op het laagste ruimtelijke niveau gealloceerd te krijgen (regio A). Vervolgens kan het zo zijn dat er in die regio (regio A) onvoldoede geschikte plekken zijn om een claim een realiseren. In dat geval wordt in de volgende sector-alloc-regio (oftewel, dezelfde sector als eerst, maar op een hoger ruimtelijk niveau) de claim kwijt te kunnen. Hiertoe wordt op het hogere niveau de rest claim bepaald (claim minus wat er op dat moment staat, i.e. na allocatie uit in de vorige sector-alloc-regio). De kans is groot dat er in dat grotere gebied (regio B, deze bevat ook A) wel nog beschikbaar plekken zijn. Het allocatieproces verloopt exact gelijk als voor enkel regio A, alleen wordt er nu dus een deel van de claim die eigenlijk voor regio A bedoeld was, naar buurgebieden verplaatst.

Een kant tekening hierbij is dat wat er op elke locatie (gridcel) geplaatst kan worden kan verschillen over regio's. Zo is de toegestone woningdichtheid en woningtypen locatie (regio) specifiek. Neem bijvoorbeeld Amsterdam, hier kunnen kleine hoge-dichtheid hoogbouw appartementen gebouwd worden. Echter, om wat voor reden dan ook blijkt er te weinig geschikte locaties te zijn om de woningclaim te realiseren. Dan wordt in de volgende sector-alloc-regio van wonen die claim bij die van bijvoobeeld de provincie Noord-Holland opgeteld. Dit zou ervoor kunnen zorgen dat die woningen nu in Zaandam of Purmerend geplaatst gaan worden. Echter daar is de toegestane dichtheid en type woningen anders en zal dit resulteren in wellicht grotere laagbouw appartementen.