Formation Zeta HR Ch04

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Chapitre 4 — Formule d'Euler (deux démonstrations)

Sources fusionnées : Grok (Bloc 6-7), DeepSeek (Capture 9-10), Perplexity (Partie II), Kimi. Fil conducteur : cette formule légitime la décomposition module/phase utilisée depuis le Chapitre 1. Statut : théorème prouvé (deux démonstrations indépendantes ci-dessous).

Formule clé

$$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \qquad (\theta\in\mathbb{R})$$

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🟢 Niveau Débutant — Lycée

Cette formule est un pont entre trois mondes : l'exponentielle, la trigonométrie, les nombres complexes. Cas particulier célèbre, l'identité d'Euler ($\theta=\pi$) :

$$e^{i\pi} + 1 = 0$$

qui relie cinq constantes fondamentales ($0,1,e,i,\pi$) en une seule égalité.

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🔵 Niveau Intermédiaire — L1/L2

Démonstration 1 — par les séries entières. L'exponentielle complexe se définit par sa série de Taylor (rayon de convergence infini, valable pour tout $z\in\mathbb{C}$) :

$$e^{z} = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{z^k}{k!}$$

En posant $z=i\theta$ et en utilisant le cycle $i^0=1,i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1,\dots$, on sépare rangs pairs et impairs (réordonnement licite car la série converge absolument) :

$$e^{i\theta} = \underbrace{\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\right)}_{=\cos\theta} + i\underbrace{\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots\right)}_{=\sin\theta}$$

Vérification numérique de la convergence (recalculée, dps=25, $\theta=1$) :

Nombre de termes $N$	Somme partielle	Écart à la valeur exacte
1	$1{,}0000$	$\approx0{,}46$
3	$0{,}5+1{,}0i$	$\approx0{,}16$
5	$0{,}541667+0{,}833333i$	$\approx0{,}009$
10	$0{,}5403026+0{,}8414710i$	$<10^{-6}$

Valeur exacte : $e^{i}\approx0{,}5403023+0{,}8414710i$. La convergence est rapide (factorielle au dénominateur).

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🟠 Niveau Expert — L3/M1/ingénieur

Démonstration 2 — par l'équation différentielle (la plus révélatrice géométriquement). Posons $y(\theta)=e^{i\theta}$. Alors $y'(\theta)=ie^{i\theta}=iy(\theta)$, avec $y(0)=1$. Posons aussi $z(\theta)=\cos\theta+i\sin\theta$ : on vérifie $z'(\theta)=-\sin\theta+i\cos\theta = i(\cos\theta+i\sin\theta)=iz(\theta)$, avec $z(0)=1$. $y$ et $z$ satisfont la même équation différentielle linéaire avec la même condition initiale ; par le théorème de Cauchy-Lipschitz (existence et unicité globale pour une EDO linéaire), $y\equiv z$, soit $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.

Interprétation géométrique. Multiplier par $i$ est une rotation de $90°$ (sens trigonométrique) : $i(a+ib)=-b+ia$. Le vecteur vitesse $y'=iy$ est donc toujours perpendiculaire au vecteur position $y$, et $|y'|=|y|$. Un mobile dont la vitesse reste perpendiculaire à sa position, de même norme, décrit un cercle à vitesse angulaire constante — c'est exactement le mouvement circulaire uniforme.

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🔴 Niveau Très Expert / Chercheur — M2/doctorat

Structure de groupe. L'application $\theta\mapsto e^{i\theta}$ est un morphisme de groupes $(\mathbb{R},+)\to(\mathbb{C}^*,\times)$ : $e^{i(\theta_1+\theta_2)}=e^{i\theta_1}e^{i\theta_2}$. Son noyau est $2\pi\mathbb{Z}$, d'où l'isomorphisme $\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}\cong S^1$. C'est le revêtement universel du cercle ; le groupe fondamental $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$ mesure le nombre de tours. Cette non-injectivité de $\theta\mapsto e^{i\theta}$ est exactement ce qui obligera, au chapitre 11, à choisir une détermination du logarithme complexe (coupure de branche) pour le contour de Hankel.

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📐 Exemple numérique

$e^{i\pi}+1$ recalculé en précision arbitraire (dps=25) : $\approx -4{,}68\times10^{-26}i$ — nul à la précision machine choisie, confirmant numériquement l'identité d'Euler (déjà prouvée analytiquement ci-dessus). Table de convergence des sommes partielles ci-dessus pour $\theta=1$.

⚠️ Piège / limite

$\theta$ doit être réel. Pour $z$ complexe non réel, $|e^{iz}|\ne1$ en général : par exemple $e^{i\cdot i}=e^{-1}\approx0{,}368\ne1$ (vérifiable directement). Autre piège : $\theta$ et $\theta+2\pi$ donnent le même point — $\theta\mapsto e^{i\theta}$ n'est pas injective (périodicité).

🔗 Lien avec le LAB

Cette formule est le fondement calculatoire de toute manipulation de phase dans le pipeline : c'est elle qui permet d'écrire $n^{-it}=e^{-it\ln n}$ (Chapitre 1) et de définir $Z(t)=e^{i\theta(t)}\zeta(\tfrac12+it)$ (Chapitre 5) — la fonction réellement utilisée par compute_zeros_*.

Schéma — Preuve géométrique par l'équation différentielle

Source éditable : figures/ch04_euler_ode.svg.

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Mis à jour le 12 novembre 2026 — hprzeta — github.com/hprzeta/Riemann_Lab

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