Formation Zeta HR Ch10

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Chapitre 10 — Facteurs Gamma & Stirling (n! et complexe)

Sources fusionnées : Grok (Bloc 4-10), Grok (Bloc 13), DeepSeek (Msg 2). Fil conducteur : outil de compensation de croissance nécessaire à l'équation fonctionnelle (Chapitre 11).

Formule clé

$$n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n, \qquad |\Gamma(\sigma+it)| \sim \sqrt{2\pi},|t|^{\sigma-1/2},e^{-\pi|t|/2} \quad(|t|\to\infty)$$

Statut : théorème prouvé (asymptotique, au sens précis défini ci-dessous).

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🟢 Niveau Débutant — Lycée

La fonction $\Gamma$ généralise la factorielle : $\Gamma(n+1)=n!$. Elle grandit très vite mais reste difficile à calculer exactement pour un grand $n$. La formule de Stirling donne une approximation simple, de plus en plus précise à mesure que $n$ grandit.

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🔵 Niveau Intermédiaire — L1/L2

D'où vient $(n/e)^n$ ? $\ln(n!)=\sum_{k=1}^n\ln k \approx \int_1^n\ln x,dx = [x\ln x-x]_1^n = n\ln n-n+1$, d'où $n!\approx e^{n\ln n-n}=(n/e)^n$ — c'est déjà le terme dominant. Le facteur correctif $\sqrt{2\pi n}$ vient du terme suivant (formule d'Euler-Maclaurin).

Vérification numérique (recalculée, mpmath dps=25) :

$n$	$n!$ exact	Stirling	erreur relative	$1/(12n)$ prédit
5	$120$	$118{,}02$	$1{,}6507%$	$1{,}6667%$
10	$3,628,800$	$3,598,696$	$0{,}8296%$	$0{,}8333%$
20	$2{,}4329\times10^{18}$	$2{,}4228\times10^{18}$	$0{,}4158%$	$0{,}4167%$
50	$3{,}0414\times10^{64}$	$3{,}0363\times10^{64}$	$0{,}1665%$	$0{,}1667%$
100	$9{,}3326\times10^{157}$	$9{,}3248\times10^{157}$	$0{,}0833%$	$0{,}0833%$

Concordance excellente avec le premier terme correctif de la série de Stirling complète, $1/(12n)$.

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🟠 Niveau Expert — L3/M1/ingénieur

Démonstration (esquisse — forme logarithmique). Pour $|z|\to\infty$, $|\arg z|<\pi-\delta$ :

$$\log\Gamma(z) = \left(z-\frac12\right)\log z - z + \frac12\log(2\pi) + O!\left(\frac1{|z|}\right)$$

Dérivation de $|\Gamma(\sigma+it)|$ pour $|t|\to\infty$, $\sigma$ fixé. On écrit $z=\sigma+it$, $\log z = \log|t| + i,\mathrm{sign}(t)\dfrac\pi2 + O(1/|t|)$ (car $\arg z\to\pm\pi/2$). En développant $(z-\tfrac12)\log z$ et en identifiant la partie réelle, le terme dominant est $it\cdot i,\mathrm{sign}(t)\tfrac\pi2 = -\tfrac\pi2|t|$ (car $i^2=-1$ et $t\cdot\mathrm{sign}(t)=|t|$). On obtient :

$$\log|\Gamma(\sigma+it)| = \left(\sigma-\frac12\right)\log|t| - \frac\pi2|t| + \frac12\log(2\pi) + o(1)$$

d'où, en exponentiant, la formule annoncée.

Vérification numérique (recalculée, mpmath dps=25, $\sigma=1/2$) : ratio $|\Gamma|/\text{Stirling}=1{,}000000$ pour $t=10,50,100$ — accord quasi parfait dès $|t|\ge10$ sur la droite critique.

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🔴 Niveau Très Expert / Chercheur — M2/doctorat

Piège fondamental : série asymptotique divergente. Le développement complet $\log\Gamma(z)=(z-\tfrac12)\log z-z+\tfrac12\log(2\pi)+\dfrac1{12z}-\dfrac1{360z^3}+\cdots$ (nombres de Bernoulli) est une série divergente pour $z$ fixé : sommer trop de termes dégrade le résultat au lieu de l'améliorer. Il existe un nombre optimal de termes à sommer pour une précision donnée — c'est le concept de série asymptotique en analyse (distinct d'une série convergente ordinaire).

Rôle dans l'équation fonctionnelle (teaser Chapitre 11). La décroissance exponentielle $e^{-\pi|t|/2}$ de $|\Gamma(s/2)|$ est exactement ce qui compense la croissance de $\zeta(1-s)$ dans l'équation fonctionnelle, quand $\mathrm{Re}(s)\to-\infty$.

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📐 Exemple numérique

Table de convergence $n!$/Stirling ci-dessus (erreur $\approx1/(12n)$, vérifié à $0{,}01$ point de pourcentage près). $|\Gamma(1/2+it)|$/Stirling $=1{,}000000$ dès $t=10$ (dps=25).

⚠️ Piège / limite

La série de Stirling complète est asymptotique et divergente — jamais sommer « le plus de termes possible ». Piège de notation : $|t|^{\sigma-1/2}$ signifie $|t|^{\sigma-\frac12}$ (division avant soustraction), pas $|t|^{(\sigma-1)/2}$ — deux expressions numériquement très différentes.

🔗 Lien avec le LAB

mpmath.gamma utilise une forme avancée de cette série pour $\Gamma(1/4+it/2)$ dans le calcul de $\theta(t)$ (fonction thêta de Riemann-Siegel, Chapitre 5) — précision cruciale pour les grands $|t|$ rencontrés par compute_zeros_*.

Schéma — Décroissance exponentielle de |Γ(1/2+it)|

Source éditable : figures/ch10_stirling_decay.svg.

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Mis à jour le 12 novembre 2026 — hprzeta — github.com/hprzeta/Riemann_Lab

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