Formation Zeta HR Ch08

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Chapitre 8 — Théorème de Cauchy & holomorphie

Sources fusionnées : Perplexity (Partie V). Fil conducteur : fondation directe du théorème des résidus (Chapitre 9).

Formule clé

$$f \text{ holomorphe sur un domaine simplement connexe } D ;\Longrightarrow; \oint_\gamma f(z),dz = 0 \quad \forall,\gamma \text{ fermé dans } D$$

Statut : théorème prouvé (Cauchy 1825, version générale sans hypothèse de continuité de $f'$ due à Goursat 1900).

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🟢 Niveau Débutant — Lycée

Holomorphe signifie dérivable au sens complexe en tout point d'un voisinage. Simplement connexe signifie, intuitivement, que le domaine n'a pas de « trou ». Le théorème dit : sur un tel domaine, l'intégrale d'une fonction holomorphe le long de n'importe quel contour fermé vaut toujours zéro.

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🔵 Niveau Intermédiaire — L1/L2

Équations de Cauchy-Riemann. Si $f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$ est holomorphe :

$$\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$$

Ces équations traduisent exactement la dérivabilité complexe en termes réels.

Exemple. $f(z)=z^2$ est holomorphe sur tout $\mathbb{C}$ (polynôme). $\oint_\gamma z^2,dz=0$ pour n'importe quel contour fermé.

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🟠 Niveau Expert — L3/M1/ingénieur

Esquisse de démonstration. Sur un disque (simplement connexe), on construit une primitive $F(z)=\int_{z_0}^z f(w),dw$ en intégrant le long de segments ; les équations de Cauchy-Riemann garantissent que cette intégrale ne dépend pas du chemin choisi à l'intérieur du disque, donc $F$ est bien définie et $F'=f$. Pour un contour général, on triangule le domaine et on recolle (théorème de Goursat).

Vérification numérique (mpmath.quad, dps=25).

$$\oint_{|z|=1} z^2,dz \approx 1{,}6\times10^{-32} + 3{,}8\times10^{-26}i \approx 0$$

à comparer à $\oint_{|z|=1}dz/z=2\pi i\ne0$ (Chapitre 7) : la différence entre les deux vient uniquement de la présence, ou non, d'une singularité à l'intérieur du contour.

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🔴 Niveau Très Expert / Chercheur — M2/doctorat

Le rôle exact de la topologie. Le contre-exemple $1/z$ sur $\mathbb{C}^=\mathbb{C}\setminus{0}$ montre que « holomorphe » ne suffit pas : $1/z$ est holomorphe sur $\mathbb{C}^$, mais $\mathbb{C}^*$ n'est pas simplement connexe (il a un trou en 0), donc le théorème ne s'applique pas. Piège à garder en tête : si le contour n'entoure pas le trou (par exemple un petit cercle loin de 0 pour $1/z$), l'intégrale vaut quand même 0 — ce n'est pas la fonction seule qui compte, mais la position relative du contour et des singularités.

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📐 Exemple numérique

$\oint_{|z|=1}z^2,dz \approx 0$ (calcul direct, dps=25), contre $\oint_{|z|=1}dz/z=2\pi i$ (Chapitre 7) — même contour, résultat opposé selon la présence d'une singularité intérieure.

⚠️ Piège / limite

Holomorphe sur un domaine troué ne suffit pas à annuler l'intégrale : il faut la simple connexité. Et même avec une fonction non holomorphe en un point, un contour qui n'entoure pas ce point donne quand même une intégrale nulle — toujours vérifier la position du contour par rapport aux singularités, pas seulement leur existence.

🔗 Lien avec le LAB

Ce théorème est la fondation directe du théorème des résidus (Chapitre 9), l'outil concret utilisé pour compter les zéros de $\zeta$ (formule de Riemann-von Mangoldt, Chapitre 14) — chaque pôle « capturé » par un contour rectangulaire contribue exactement sa contribution résiduelle, rien de plus.

Schéma — Le rôle du « trou »

Source éditable : figures/ch08_cauchy_trou.svg.

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Mis à jour le 12 novembre 2026 — hprzeta — github.com/hprzeta/Riemann_Lab

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